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Exercice - Le cryptage d'informations



L'énoncé

Le but de cet exercice est d'utiliser le changement de base pour crypter une série de chiffre. Supposons qu'un agent secret veuille envoyer une série de chiffres à un correspondant de telle manière qu'il soit le seul à comprendre le sens du message. Inventons un moyen de cryptage qui consiste à exprimer la série de chiffre dans une autre base. Ainsi, seuls ceux qui connaissent la base de cryptage peuvent décoder (ou coder) le message.

Le but de cet exercice est de voir différentes manières de crypter une suite de chiffres par changement de base, ainsi que les inconvénients des différentes manières.


  • Question 1

    Prenons la liste de chiffres suivante : 15789

    La première approche de codage serait de considérer la suite de chiffres comme un nombre à part entière. Ainsi, il suffit de l'exprimer dans une autre base pour le crypter.

    Exprimer le nombre 15789 en base 5. 

  • Question 2

    Maintenant, pour se rendre compte de la faiblesse du cryptage, crypter 15789 en base 7.

    Que remarque-t-on lorsque l'on écrit un nombre dans une base quelconque ? (Décimale, binaire, base 5 ou 7 dans le cas de cet exercice.)

    En quoi cela pose-t-il problème dans le cas de la cryptographie ?

  • Question 3

    Supposons maintenant que l'on crypte chiffre par chiffre, et non pas comme un nombre à part entière.

    Prenons la suite de chiffres 7236489531567.

    Crypter la liste en base 2. Quel problème pose cette nouvelle technique de cryptage ? Peut-on y remédier ?

  • Question 4

    On peut maintenant suggérer que le message lui même contienne des informations nécessaires au décodage. Ainsi, en plus du message à transmettre, l'espion intercale des chiffres nécessaires au décodage et connus uniquement par son correspondant.

    Supposons par exemple que le premier chiffre de la liste corresponde à la base de codage, et que le dernier corresponde au sectionnement de code :

    Par exemple, si le correspondant reçoit 73255421463, le message à comprendre est le suivant : 

    7 325542146 3

    7 signifie que la base de codage est la base 7.

    3 signifie que pour comprendre le message, il faut le sectionner tous les 3 chiffres : le message devient 325 542 146.

    Ainsi, pour décrypter le message, il faut repasser en base décimale : en faisant les calculs, on trouve 166 275 83.

     

    Décrypter le code suivant :

    20110100101010100011100014

  • Question 5

    Cependant, on remarque qu'en base binaire, la technique de codage est assez explicite : les seuls chiffres différents de 1 et 0 sont le premier et le dernier, on s'aperçoit vite que le premier correspond au numéro de base, et il ne reste plus qu'a comprendre que le dernier chiffre correspond au séquençage. La technique de codage n'est donc toujours pas suffisante.

    On pourrait donc supposer que le chiffre de séquençage (le dernier chiffre) soit nécessairement inférieur au numéro de la base. Ainsi, une personne ne connaissant pas la technique ne pourra pas différencier les chiffres du code du chiffre de séquençage. Par exemple, un chiffre écrit en base 7 est nécessairement plus petit que 7. Si le chiffre de séquençage est inférieur à 7, il se mêlera parmi les autres et un inconnu ne pourra pas comprendre qu'il correspond au séquençage.

    Quel est le problème de limiter le séquençage par le chiffre de la base de codage ?

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