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L'INCONTOURNABLE DU CHAPITRE

Exercice d'application


Dérivabilité et études de fonctions

  • Exercice : Etude de fonctions

    La courbe $(C)$ ci-dessous est celle d’une fonction $f$ définie sur  $I = ]1 ; +\infty[$. Les points $A, B$ et $S$ sont les points de la courbe d'abscisses respectifs $2;5$ et $9$.

    1) a) Lire les valeurs de $f(2), f(3)$ et $f(9)$.

    b) Par lecture graphique, donner une valeur approchée des solutions de l’équation $f(x)= 0$.

    c) Déterminer le signe de $f$ sur $I$.

     

    2) a) Que vaut $f’(5)$ ? (Justifier)

    b) Donner une équation de la droite $(T)$ passant par $(1 ; 7)$ et par $(3 ; 1)$. Quel nombre dérivé peut-on en déduire ?

    c) Dresser le tableau de variations de $f$ sur $I$.

     

    3) $f$ est de la forme $f(x)=ax+b+\dfrac{c}{x-1}$.

    a) Calculer $f ’(x)$ en fonction de $a$ et de $c$.

    b) Traduisez par des relations que $A$ et $B$ sont des points de $C$ et qu’en $S$ la tangente est horizontale.

    c) En déduire un système d’inconnues $a, b$ et $c$ puis le résoudre pour trouver l’expression de $f(x)$.

     

    4) On admet que $f(x)=x-10 + \dfrac{16}{x-1}$.   

    a) Déterminer l’équation de la tangente à $(C)$ au point $A$ d’abscisse 2.

    b) Résoudre par le calcul l’équation $f(x) = 0$ et retrouver le résultat de la question 1) b).

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