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L'INCONTOURNABLE DU CHAPITRE

Exercice de synthèse sur l'exponentielle

L'énoncé

L'exercice est divisé en deux parties, la seconde partie utilisant des résultats démontrés lors de la première. 

PARTIE A

Soit $f$ la fonction définie pour tout $ x\in [0.5\ ; 10]$ par 

$f(x) = 40(2x - 3)e^{-x}$

1°/ Calculer $f'(x)$ pour tout $ x\in [0.5\ ; 10]$.

2°/ En étudiant le signe de $f'$, déduire le tableau de variation de $f$.

3°/ Etudier les équations suivantes :

  • $f(x) = 10$
  • $f(x) = 6$

Combien y a-t-il de solution(s) pour chacune d'elle ? 

4°/ Résoudre $ f(x) \geq 0$.

 

PARTIE B

On considère une entreprise produisant des robinets. Pour modéliser son bénéfice en fonction de la production, on utilise la fonction $f$.

$x$ représente le nombre de robinets produits (en milliers) et $f(x)$ le profit (en milliers d'euros).

On suppose que toute la production est vendue.

1°/ Quel profit cette entreprise tire-t-elle de la vente de $2800$ robinets ?

2°/ Quel profit maximal l'entreprise peut elle espérer ? Quelle quantité de robinets sera alors vendue ?

3°/ Déterminer la quantité minimale de robinets à produire pour que l'entreprise soit rentable.

4°/ Déterminer si un salaire de $2.5$€ par robinet produit est possible.


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