Terminale Economique et Sociale > Mathématiques > Lois de probabilité continues > L'incontournable du chapitre

L'INCONTOURNABLE DU CHAPITRE

Exercice d'application


Lois de probabilité continues

  • Exercice : Loi exponentielle - Usine de composants électroniques - Annale BAC 2016

    Partie A

    Une usine fabrique un composant électronique. Deux chaînes de fabrication sont utilisées.

    La chaîne A produit $40\%$ des composants et la chaîne B produit le reste.

    Une partie des composants fabriqués présentent un défaut qui les empêche de fonctionner à la vitesse prévue par le constructeur. En sortie de chaîne A, $20\%$ des composants présentent ce défaut alors qu’en sortie de chaîne B, ils ne sont que $5\%$.

    On choisit au hasard un composant fabriqué dans cette usine.

    On note :
    $A$ l’événement « le composant provient de la chaîne A »
    $B$ l’événement « le composant provient de la chaîne B »
    $S$ l’événement « le composant est sans défaut »

     

    Questions

    1) Montrer que la probabilité de l’événement $S$ est $P(S)= 0,89$

    2) Sachant que le composant ne présente pas de défaut, déterminer la probabilité qu'il provienne de la chaîne A. On donnera le résultat à $10^{-2}$ près.

     

     

    Partie B

    Des améliorations apportées à la chaîne A ont eu pour effet d'augmenter la proportion $p$ de composants sans défaut.

    Afin d'estimer cette proportion, on prélève au hasard un échantillon de $400$ composants parmi ceux fabriqués par la chaîne A.

    Dans cet échantillon, la fréquence observée de composants sans défaut est de $0,92$.

     

    Questions

    1) Déterminer un intervalle de confiance de la proportion $p$ au niveau de confiance de $95 \%$.

    2) Quelle devrait être la taille minimum de l'échantillon pour qu'un tel intervalle de confiance ait une amplitude maximum de $0,02$ ?

     

     

    Partie C

    La durée de vie, en années, d'un composant électronique fabriqué dans cette usine est une variable aléatoire $T$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ (où $\lambda$ est un nombre réel strictement positif).

    On note $f$ la fonction densité associée à la variable aléatoire $T$. On rappelle que :
    - pour tout nombre réel $x \ge 0, \ f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$
    - pour tout nombre réel $a \le 0, \ P(T \le a) =  \displaystyle \int ^a_0 f(x) dx$

     

    Questions

    1) La courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ est donnée ci-dessous

    f70cac41818df2e4e1f063b07071dc35cfc8d6e9.png

    A) Interpréter graphiquement $P(T \le a)$ où $a >0$.

    B) Monter que pour tout nombre réel $t \ge 0$ : $P(T \le t) = 1 - e^{- \lambda t}$

    C) En déduire que $\lim \limits_{\substack{t \to + \infty}} P(T \le t) = 1$

     

    2) On suppose que $P(T \le 7) = 0,5$. Déterminer $\lambda$ à $10^{-3}$ près.

     

    3) Dans cette question on prend $\lambda = 0,099$ et on arrondit les résultats des probabilités au centième ?

    A) On choisit au hasard un composant fabriqué dans cette usine.

    Déterminer la probabilité que ce composant fonctionne au moins $5$ ans.

    B) On choisit au hasard un composant parmi ceux qui fonctionnent encore au bout de $2$ ans.

    Déterminer la probabilité que ce composant ait une durée de vie supérieure à $7$ ans.

    C) Donner l'espérance mathématique $E(T)$ de la variable aléatoire $T$ à l'unité près.
    Interpréter ce résultat.

La correction et les astuces de cet exercice t'intéressent ?

Accède librement à l'ensemble des contenus, aux astuces et aux corrections des exercices en t'abonnant sur Les Bons Profs. Clique ici pour démarrer l'abonnement.