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PUISSANCE D'UNE MATRICE

Exercice - Étude d’une suite de matrices



L'énoncé

Soit \((U_n)\) une suite de matrices telle que, pour tout entier naturel n, \(U_{n+1} = AU_n + B\) avec

\(U_0 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\), \(A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\) et \(B = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\).


  • Question 1

    Déterminer une suite constante \(X\) vérifiant la relation de récurrence.

  • Question 2

    Soit \(V_n = U_n - X\). Montrer que pour tout entier naturel n, \(V_{n+1} = AV_n\)

  • Question 3

    Exprimer \(V_n\) en fonction de \(V_0\).

  • Question 4

    En déduire que \(U_n = A^n (U_0 - X) + X\)

  • Question 5

    Montrer que, pour tout entier naturel \(n\), \(A^n = \begin{pmatrix} 2^n & 0 \\ n2^{n-1} & 2^n \end{pmatrix}\)

    En déduire l'expression de \(U_n\) en fonction de \(n\).

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