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RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE

Exercice - Suites, récurrence et probabilités



L'énoncé

Un joueur débute un jeu vidéo et effectue plusieurs parties successives.
On admet que :
• la probabilité qu’il gagne la première partie est de 0,1 ;
• s’il gagne une partie, la probabilité de gagner la suivante est égale à 0,8 ;
• s’il perd une partie, la probabilité de gagner la suivante est égale à 0,6.
On note, pour tout entier naturel \(n\) non nul :
• \(G_n\) l’évènement « le joueur gagne la \(n\)-ième partie » ;
• \(p_n\) la probabilité de l’évènement \(G_n\)·
On a donc \(p_1 = 0,1\).


  • Question 1

    Montrer que \(p_2 = 0,62\). On pourra s'aider d'un arbre pondéré.

  • Question 2

    Le joueur a gagné la deuxième partie. Calculer la probabilité qu'il ait perdu la première.

  • Question 3

    Calculer la probabilité que le joueur gagne au moins une partie sur les trois premières parties.

  • Question 4

    Montrer que pour tout entier naturel \(n\) non nul, \(p_{n+1} = \dfrac{1}{5}p_n + \dfrac{3}{5}\).

  • Question 5

    Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\) non nul, \(p_n = \dfrac{3}{4} - \dfrac{13}{4} \left(\dfrac{1}{5}\right)^n\).

  • Question 6

    Déterminer la limite de la suite \((p_n)\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\).

  • Question 7

    Pour quelles valeurs de l'entier naturel \(n\) a-t-on : \(\dfrac{3}{4}-p_n < 10^{-7}\) ?

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