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STAGE - RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE, SOMMES DE TERMES

Exercice - Suites et géométrie



L'énoncé

On considère une droite \(D\) munie d'un repère \((O;\overrightarrow{i})\).
Soit \((A_n)\) la suite de points de la droite \(D\) ainsi définie :
- \(A_0\) est le point \(O\) ;
- \(A_1\) est le point d'abscisse 1 ;
- pour tout entier naturel \(n\), le point \(A_{n+2}\) est le milieu du segment \([A_nA_{n+1}]\).


  • Question 1

    Placer sur une droite \(D\), les points \(A_0\), \(A_1\), \(A_2\), \(A_3\), \(A_4\), \(A_5\) et \(A_6\). On prendra 10 cm comme unité graphique.

  • Question 2

    Pour tout entier naturel \(n\), on note \(a_n\) l'abscisse du point \(A_n\). Calculer \(a_2\), \(a_3\), \(a_4\), \(a_5\) et \(a_6\).

  • Question 3

    Pour tout entier naturel \(n\), justifier l'égalité : \(a_{n+2} = \dfrac{a_n+a_{n+1}}{2}\)

  • Question 4

    Démontrer par récurrence, que pour tout entier \(n\), \(a_{n+1} = -\dfrac{1}{2}a_n +1\).

  • Question 5

    Soit \((v_n)\) la suite définie, pour tout entier naturel \(n\), par \(v_n = a_n - \dfrac{2}{3}\)

    Démontrer que \((v_n)\) est une suite géométrique de raison \(-\dfrac{1}{2}\).

  • Question 6

    Déterminer la limite de la suite \((v_n)\), puis celle de la suite \((a_n)\).

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