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STAGE - CONVERGENCE ET LIMITES DE SUITES

Exercice - Suite, type Bac



L'énoncé

Soit \((u_n)\) la suite définie par \(u_0=5\) et pour tout nombre entier naturel \(n\),   \(u_{n+1} = \dfrac{4u_n-1}{u_n+2}\)

Si \(f\) est la fonction définie sur l'intervalle \(]-2;+\infty[\) par  \(f(x) = \dfrac{4x-1}{x+2}\)

Alors on a, pour tout nombre entier naturel \(n\),  \(u_{n+1} = f(u_n)\)

Voici une partie de la courbe représentative \(C\) de la fonction \(f\) ainsi que la droite \(\Delta\) d'équation \(y=x\).
courbe de la fonction et droite d'équation y=x


  • Question 1

    Sur l'axe des abscisses, placer \(u_0\) puis construire \(u_1\), \(u_2\) et \(u_3\) en laissant apparents les traits de construction.

  • Question 2

    Quelles conjectures peut-on émettre sur le sens de variation et sur la convergence de la suite \((u_n)\) ?

  • Question 3

    Démontrer par récurrence que, pour tout nombre entier naturel \(n\), on a \(u_n - 1 > 0\).

  • Question 4

    Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
    Valider par une démonstration les conjectures émises à la question 2.

  • Question 5

    Dans cette question, on se propose d'étudier la suite \((u_n)\) par une autre méthode, en déterminant une expression de \(u_n\) en fonction de \(n\).
    Pour tout nombre entier naturel \(n\), on pose \(v_n = \dfrac{1}{u_n-1}\).
    Démontrer que la suite \((v_n)\) est une suite arithmétique de raison \(\dfrac{1}{3}\).

  • Question 6

    Pour tout nombre entier naturel \(n\), exprimer \(v_n\) puis \(u_n\) en fonction de \(n\).

  • Question 7

    En déduire la limite de la suite \((u_n)\).

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