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SYSTÈME D'ÉQUATIONS PARAMÉTRIQUES DE DROITES

Exercice - Intersection de deux droites



L'énoncé

L’espace est muni d'un un repère orthonormal \((O; \overrightarrow{i}; \overrightarrow{j}; \overrightarrow{k})\).

On note \((D)\) la droite passant par \(A(1;-2;-1)\) et \(B(3;-5;-2)\).


  • Question 1

    Montrer qu'une représentation paramétrique de la droite \((D)\) est :

    \(\left\{ \begin{array}{left} x = 1 + 2t\\ y = -2-3t\\ z = -1-t\\ \end{array}\right. \) avec \(t \in \mathbb{R}\)

  • Question 2

    On note \((D')\) la droite ayant pour représentation paramétrique \(\left\{ \begin{array}{left} x = 2-k\\ y = 1+2k\\ z = k\\ \end{array}\right. \) avec \(k \in \mathbb{R}\)
    Montrer que les droites \((D)\) et \((D')\) sont non coplanaires.

  • Question 3

    On considère le plan \((P)\) d'équation cartésienne \(4x+y+5z+3=0\).
    Montrer que le plan \((P)\) contient la droite \((D)\).

  • Question 4

    Montrer que le plan \((P)\) et la droite \((D')\) se coupent en un point \(C\) dont on précisera les coordonnées.

  • Question 5

    On considère la droite \((\Delta)\) passant par le point \(C\) et de vecteur directeur \(\overrightarrow{w}(1;1;-1)\).
    Montrer que les droites \((\Delta)\) et \((D')\) sont perpendiculaires.

  • Question 6

    Montrer que la droite \((\Delta)\) coupe perpendiculairement la droite \((D)\) en un point \(E\) dont on précisera les coordonnées.

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