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LOIS DE PROBABILITÉ CONTINUES, LOIS UNIFORMES

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Loi à densité sur [a ; b]

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Lois de probabilité continues

 

Définition : Densité de probabilité sur un intervalle $[a;b]$

Soit $f$ une fonction continue et positive sur un intervalle $[a;b]$.

$f$ est une densité de probabilité sur $[a;b]$ si et seulement si :

$ \displaystyle \int \limits_a^{b}f(x)dx=1$


loi-densite-probabilite

Exemple

Soit $ \displaystyle f(x)=\frac{2}{x^2}$ définie sur $[1 ; 2]$.

Cette fonction $f$ est-elle une densité de probabilité ?

 

Correction

$f$ est continue et positive sur $[1;2]$. On intègre la fonction entre $1$ et $2$:

\( \displaystyle \int \limits_{1} ^{2}\frac{2}{x^2} dx=\left[ -\frac{2}{x}\right]_{1}^2\)

\( \displaystyle \int \limits_{1} ^{2}\frac{2}{x^2} dx= -\frac{2}{2}+\frac{2}{1} = 1\)

On a donc: \( \displaystyle \int \limits_{1} ^{2} f(x) dx= 1\)

Cette intégrale vaut $1$ donc la fonction $f$ est bien une densité de probabilité sur $[1;2]$.