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RAISONNEMENT MATHÉMATIQUE

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Raisonnement par disjonction de cas

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Raisonnement par disjonction de cas

 

Principe 

 

Pour prouver qu'une proposition est vraie sur un ensemble $E$, on peut monter qu'elle est vraie sur des sous-ensembles disjoints de $E$, dont la réunion est $E$. 

Le raisonnement par disjonction de cas consiste donc à séparer différents cas. 

 

Illustration graphique

 

Dans l'exemple ci-dessous, les deux sous-ensembles $A$ et $B$ sont séparés et en les réunissant, on obtient la totalité de $E$. 

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Dans ce deuxième exemple, les deux sous-ensembles ne sont pas tout à fait séparés dans la mesure où il existe une partie commune, mais la réunion est toujours égale à $E$. Dans ce cas, on ne pourrait pas raisonner par disjonction de cas. 

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Exemple :

On souhaite, en guise d'exemple, montrer que la proposition suivante $P$ est vraie :

"Pour tout entier naturel $n$, $\dfrac{n(n + 1)}{2}$ est un entier". 

Pour montrer cette proposition, on raisonne par disjonction de cas.

On sépare les entiers naturels en deux-sous ensembles, les entiers pairs et les entiers impairs.

En effet, un entier est soit pair, soit impair mais il ne peut être les deux à la fois : ces deux ensembles sont donc disjoints mais leur réunion forme l'ensemble des entiers naturels. 

 

Premier cas : on suppose que $n$ est pair.

Il existe donc un entier naturel $k$ tel que $n = 2k$, car $n$ est divisible par $2$. 

Ainsi,

$\dfrac{n(n+1)}{2} = \dfrac{2k(2k+1)}{2}$

$\dfrac{n(n+1)}{2}= k(2k +1)$ qui est un entier. 

 

Deuxième cas : on suppose que $n$ est impair.

Il existe donc un entier naturel $k$ tel que $n = 2k + 1$. (Par exemple, $17 = 2 \times 8 + 1$). 

Ainsi,

$\dfrac{n(n+1)}{2} = \dfrac{(2k+1)(2k+1 + 1)}{2}$

$\dfrac{n(n+1)}{2} = \dfrac{(2k+1)(2k+2)}{2} $

$\dfrac{n(n+1)}{2} = \dfrac{2(2k+1)(k+1)}{2} $

$\dfrac{n(n+1)}{2} = (2k +1)(k + 1)$ qui est un entier.

 

Conclusion : 

Dans tous les cas, pour tout $n \in \mathbb{N}, \dfrac{n(n+1)}{2}$ est un entier donc la propriété $P$ est vraie pour tout entier.