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LIMITES DE FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES

Exercice - Trigonométrie type bac



L'énoncé

Soit \(f\) la fonction \(f\) définie sur l'intervalle \(\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]\) par \(f(x) = (1+\sin(x)) \times \cos(x)\)

Cet exercice commence par l'étude de la fonction \(f\) sur l'intervalle \(\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]\), puis s'intéresse ensuite à la représentation graphique de \(f\) sur \(\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]\).


  • Question 1

    Justifier que \(f\) est dérivable sur \(\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]\) et montrer que \(f ' (x) = -2\sin^2(x) -\sin(x) +1\)

  • Question 2

    Factoriser le polynôme \(-2X^2-X+1\).

  • Question 3

    En déduire la forme factorisée de \(f'(x)\).

  • Question 4

    En déduire le tableau de signe de \(f ‘(x)\) sur \(\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]\)

  • Question 5

    En déduire le tableau de variations de \(f\) sur \(\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]\).

  • Question 6

    On se place maintenant sur l'intervalle \([0 ; \pi]\).

    On souhaite construire la courbe représentative de \(f\) sur cet intervalle.
    Vérifier que pour tout réel \(h\), on a :

    \(f \left( \dfrac{\pi}{2}-h\right) = -f \left( \dfrac{\pi}{2}+h\right)\)

  • Question 7

    Que peut-on en déduire pour la courbe représentative de \(f\) ?

  • Question 8

    Déterminer l'équation de la tangente à \(C_f\) au point d'abscisse \(\dfrac{\pi}{2}\).

  • Question 9

    Tracer la courbe de \(f\) sur l'intervalle \([0; \pi]\).

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