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ETUDES DE FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES

Exercice - Fonction composée trigonométrique



L'énoncé

On note \(g\) la fonction définie sur \(\left[0; \dfrac{\pi}{2}\right]\) par : \(g(x) = 2x\cos (2x) - \sin(2x) + \dfrac{\pi}{2}\)


  • Question 1

    La fonction \(g\) est-elle-\(\pi\)-périodique ?

  • Question 2

    Montrer que \(g\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et déterminer \(g'(x)\).

  • Question 3

    Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'équation \(g'(x)=0\)

  • Question 4

    On se place maintenant sur \( \left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]\), et on mène l'étude de \(g\) sur cet intervalle.
    Donner les solutions de \(g'(x) = 0\) sur \( \left[0; \dfrac{\pi}{2}\right]\).

  • Question 5

    Étudier le signe $g$ sur l'intervalle \(\left[0; \dfrac{\pi}{2}\right]\).

  • Question 6

    En déduire le tableau de variations de \(g\) sur \( \left[0; \dfrac{\pi}{2}\right]\).

  • Question 7

    Montrer que l'équation \(g(x)=0\) possède une unique solution \(\alpha\) dans \( \left[0; \dfrac{\pi}{2}\right]\).

  • Question 8

    Préciser un encadrement de \(\alpha\) à \(10^{-2}\) près.

  • Question 9

    Tracer la courbe dans un repère.

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