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L'INCONTOURNABLE DU CHAPITRE

Exercice d'application


Logarithmes népériens

  • Exercice : Fonction et algorithme - Annale BAC 2016

    Partie A

    Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x - \ln (x^2+1)$.

    1) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $f(x) = x$.

    2) Justifier tous les éléments du tableau de variation ci-dessous à l'exception de la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$ que l'on admet.

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    3) Montrer que pour tout réel $x$ appartenant à $[0;1]$, $f(x)$ appartient à $[0;1]$.

    4) On considère l'algorithme suivant :

    Variables $N$ et $A$ des entiers naturels ;
    Entrée Saisir la valeur de $A$
    Traitement $N$ prend la valeur $0$
    Tant que $N-\ln (N^2 + 1) <A$
    $\quad \quad$ $N$ prend la valeur $N+1$
    Fin tant que
    Sortie Afficher $N$

    A) Que fait cet algorithme ?

    B) Déterminer la valeur $N$ fournie par l'algorithme lorsque la valeur saisie pour $A$ est $100$.

     

    Partie B

    Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n, u_{n+1} = u_n - \ln (u^2_n + 1)$.

    1) Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ appartient à $[0;1]$.

    2) Étudier les variations de la suite $(u_n)$.

    3) Montrer que la suite $(u_n)$ est convergente.

    4) On note $\ell$ sa limite, et on admet que $\ell$ vérifie l'égalité $f(\ell)= \ell$

    En déduire la valeur de $\ell$.

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