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L'INCONTOURNABLE DU CHAPITRE

Exercice - Aires et triangles



L'énoncé

M. Jean possède un terrain qu’il souhaite partager en deux lots de même aire. Ce terrain a la forme d’un triangle \(ABC\) rectangle en \(A\) tel que \(AB = 50 m\) et \(AC = 80 m\).


  • Question 1

    Calculer l'aire du triangle \(ABC\).

  • Question 2

    En déduire que l'aire de chaque lot doit être 1 000 m\(^2\).

  • Question 3

    Dans un premier temps, il pense faire deux lots ayant la même forme de deux triangles \(AMC\) et \(BMC\) comme indiqué sur la figure.

    On pose \(AM = x\).
    Exprimer en fonction de \(x\) l'aire du triangle \(AMC\).

  • Question 4

    Exprimer en fonction de \(x\) l'aire du triangle \(BMC\).

  • Question 5

    Déterminer \(x\) pour que les aires des deux triangles \(AMC\) et \(BMC\) soient égales.

  • Question 6

    Quelle est la position du point \(M\) sur le segment \([AB]\) ?

  • Question 7

    On considère les deux fonctions affines \(f\) et \(g\) définies par :
    \(f(x) = 40x\) et \(g(x) = 2 000 -40x\)

    Sur une feuille de papier millimétré, construire un repère orthogonal :

    • L'origine sera placée en bas à gauche.
    • Sur l'axe des abscisses, on prendra 1 cm pour 5 unités (1 cm pour 5 m)
    • Sur l'axe des ordonnées, on prendra 1 cm pour 100 unités (1 cm pour 100 m\(^2\))

    Dans ce repère, représenter graphiquement les fonctions affines \(f\) et \(g\) pour \(0 \leq x \leq 50\).

  • Question 8

    En utilisant ce graphique, retrouver le résultat de la question 6

  • Question 9

    Finalement, Monsieur Jean se décide à partager son terrain en un lot triangulaire \(AMN\) et un lot ayant la forme d'un trapèze \(BMNC\).

    (Comme indiqué sur la figure avec \((MN)\) parallèle à \((BC)\)).
    On pose \(AM = x\).



    En utilisant la propriété de Thalès, exprimer \(AN\) en fonction de \(x\).

  • Question 10

    En déduire que l'aire du triangle \(AMN\) est égale à \(\dfrac{4}{5} x^2\).

  • Question 11

    Le graphique suivant représente l'aire en m\(^2\) du triangle \(AMN\) exprimée en fonction de \(x\).

    En utilisant ce graphique, déterminer \(x\), à un mètre près, pour que les aires des deux lots \(AMN\) et \(BMNC\) soient égales.

     



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