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RAISONNEMENT MATHÉMATIQUE

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Raisonnement par l'absurde

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Raisonnement par l'absurde

 

Principe :

Pour montrer qu'une proposition est vraie, on peut supposer qu'elle est fausse et montrer que l'on arrive alors à une contradiction, c'est à dire une incohérence. 

 

Exemple

On souhaite démonter que "Zéro n'admet pas d'inverse". 

Pour rappel, l'inverse d'un nombre $a$ est le nombre $b$ tel que $a \times b = 1$. 

 

Débutons notre raisonnement par l'absurde en supposant que $0$ ait un inverse.

Il existe alors un nombre $a$ tel que

$a \times 0 = 1$. 

Or $0 + 0 = 0$

On peut donc écrire que $a \times (0 + 0)  = 1$.

On obtient alors l'égalité suivante :

$a \times 0 = a \times (0 + 0) = a \times 0 + a \times 0 = 1 + 1 = 2$.

Or on a supposé que $a \times 0 = 1$

On obtient alors $1 = 2$, ce qui constitue une contradiction.

 

Ainsi, $0$ n'admet pas d'inverse.