MATHÉMATIQUES

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Déterminer l'axe de symétrie et le sommet d'une parabole d'équation $y =ax^2 + bx + c$

 

I) Exemples

 

On commence par traiter deux exemples différents afin de mieux comprendre le cas général.

Exemple 1 :

On définit une parabole d'équation $y = -2x^2 + 8x + 8$. 

Pour savoir si la parabole est tournée vers le haut ou vers le bas, on regarde le signe de $a$. 

Ici, $a = -2 < 0$, la parabole est donc tournée vers le bas. Le sommet de la parabole correspond donc à un maximum. 

L'axe de symétrie ($\Delta$) de la parabole est parallèle à l'axe des ordonnées et passe par le sommet. En connaissant les coordonnées du sommet, on pourra en déduire l'équation de l'axe qui sera $x = x_S$, avec $x_S$ l'abscisse du sommet.

On cherche donc les coordonnées du sommet $S$. 

On commence par factoriser le polynôme par le coefficient $a$ :

$-2x^2 + 8x + 8 = -2(x^2 - 4x - 4)$.

On cherche à partir des termes $x^2 - 4x$ à faire apparaitre un carré.

Or, en se rappelant les identités remarquables, on sait que $(x - d)^2 = x^2 - 2dx + d^2$, ou encore que $(x - d)^2 - d^2 = x^2 - 2dx$, pour tout réel $d$.

On cherche donc $d$ tel $x^2 - 2dx = x^2 - 4x$ ou encore $-2dx = -4x$ pour tout $x$, et on trouve alors que $d = 2$. 

Finalement, on utilise le fait que $(x - d)^2 - d^2 = x^2 - 2dx$ et avec $d = 2$ on trouve $(x - 2)^2 - 2^2 = x^2 - 4x$.

Ainsi,  $-2x^2 + 8x + 8 = -2(x^2 - 4x - 4) = -2\big((x-2)^2 - 4 - 4 \big) = -2\big((x-2)^2 - 8 \big)$.

En redéveloppant $-2$ on trouve $-2x^2 + 8x + 8 = -2(x - 2)^2 + 16$. On vient de trouver la forme canonique du polynôme. 

On cherche le maximum de la parabole, on cherche donc à maximiser l'équation $-2(x - 2)^2 + 16$.

Or, on se rend compte que le terme $-2(x - 2)^2$ est négatif. On cherche donc $x$ pour lequel cette quantité est la plus grande (donc nulle).

En effet, si cette quantité n'est pas nulle, l'é

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