Cours Mise en équation de problème
Exercice

L'énoncé

Résoudre les problèmes suivants.


Question 1

Un père dispose de $1300$ euros qu'il souhaite donner à ses trois enfants. Il veut que l'aîné ait $200$ euros de plus que le second et que le second ait $100$ euros de plus que le dernier. Quelle somme doit il donner à chacun ?

On appelle $x$ la somme donnée au plus jeune des trois enfants (c'est un exemple, on peut choisir un autre enfant). Le plus jeune reçoit donc $x$, le second $x+100$, le plus âgé reçoit $x+300$. La somme totale étant de $1300$ euros, on obtient l'équation suivante : $x+(x+100)+(x+300) = 1300$. On entame la résolution :

$x+(x+100)+(x+300) = 1300$

$3x+400 = 1300$

$3x= 1300-400$

$3x= 900$

$x = 300$

Vérification : $300+(300+100)+(300+300) = 1300$

Le plus jeune reçoit donc de son père $300$ euros, le deuxième $400$ euros, et le plus âgé $600$ euros.

Question 2

Pour assister à un match de foot, un groupe de $16$ personnes a payé $60$ euros de plus qu'un groupe de $10$ personnes. Sachant que toutes les places sont au même prix, quel est le prix, en euros, d'une place ?

 

On appelle $x$ le prix d'une place. On sait que $16x = 10x + 60$, on résout donc cette équation :

$16x = 10x + 60$

$16x - 10x = 60$

$6x = 60$

$x = 10$

Une place sur ce match de foot coûte donc $10$ euros.

Question 3

Sandra et Bastien se rencontrent pour la première fois. Sandra demande à Bastien quel âge il a, question à laquelle Bastien répond : "Si je vis jusqu'à $100$ ans, il me reste encore à vivre les $\dfrac{3}{2}$ de l'âge que j'ai." Quel âge a Bastien ?

Soit $x$ l'âge de Bastien. On sait qu'il lui les reste les $\dfrac{3}{2}$ de l'âge qu'il a à vivre, la somme de l'âge qu'il a (soit $x$ et de ces $\dfrac{3}{2}$ de l'âge qu'il a (soit $\dfrac{3}{2} \times x$) vaut $100$. On a donc :

$x+\dfrac{3}{2} \times x = 100$

$\dfrac{2}{2} \times x + \dfrac{3}{2} \times x = 100$

$\dfrac{5}{2} \times x = 100$

$x = \dfrac{100}{\dfrac{5}{2}} = 100 \times \dfrac{2}{5} = 40$.

Bastien a donc $40$ ans.

Question 4

Un collège a acheté $25$ exemplaires d’un livre. Pour le même montant, un autre collège achète le même livre $2$ euros de moins, ce qui lui permet d’en acheter $5$ de plus. Quel est le prix d’un livre acheté par le premier établissement ?

On appelle $x$ le prix d'un livre dans le premier collège. Le prix payé par ce collège est donc $25x$. Dans l'autre collège, $30$ livres sont achetés mais le prix d'un livre est plus petit, et vaut $x-2$. Le prix payé par ce collège est donc $30(x-2)$. On obtient alors l'équation : $25x = 30(x-2)$.

$25x = 30(x-2)$

$25x = 30x-60$

$60 = 30x -25x$

$60 = 5x$

$x = \dfrac{60}{5} = 12$.

Le prix d'un livre payé par le premier collège est $12$ euros, et celui payé par le second collège est $10$ euros.

Question 5

On veut partager équitablement une somme d’argent entre plusieurs personnes. Si l’on donne $20$ euros à chaque personne, il reste $40$ euros. Si l’on donne $25$ euros à chaque personne, il manque $75$ euros. Quel est le nombre de personnes ?

Attention ici à la question, on demande le nombre de personnes, et non la somme d'argent. Soit $x$ le nombre de personnes que l'on cherche. La somme à distribuer est égale à $20x + 40$, mais aussi égale à $25x - 75$. On a donc l'équation :

$20x+40 = 25x-75$

$40+75 = 25x-20x$

$115 = 5x$

$x = \dfrac{115}{5} = 23$.

On a donc $23$ personnes au départ. On peut ici déduire la somme d'argent (même si elle n'est pas demandée) qui vaut ici $20 \times 23 + 40 = 500$ euros.