Cours Inégalité triangulaire
Exercice

L'énoncé

Cet exercice porte sur les inégalités triangulaires. Répondre aux cinq questions suivantes.

 


Question 1

Rappeler la propriété de l'inégalité triangulaire.

Dans un triangle la longueur de chaque côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés.

Trois longueurs étant données, elles permettent de construire un triangle si la plus grande est inférieure à la somme des deux autres.

Il n'y a qu'une seule propriété dans le cours sur l'inégalité triangulaire !

Question 2

Ce triangle a été conçu à main levée. Est-il possible de le réaliser en vrai selon la règle de l'inégalité triangulaire ?

Dans le triangle $EDF$, le plus grand côté est $ED$. 
Un triangle est réalisable en respectant l'inégalité triangulaire si le côté le plus grand est inférieur à la somme des deux autres.
$ED=8$cm et $DF+FE=6+3=9$cm donc $ED<DF+FE$
Le triangle peut être construit.

Quel est le plus grand côté ?

Question 3

Ce triangle a été conçu à main levée. Est-il possible de le réaliser en vrai selon la règle de l'inégalité triangulaire ?

 

Dans le triangle $GHI$, le plus grand côté est $GI$. 
Un triangle est réalisable en respectant l'inégalité triangulaire si le côté le plus grand est inférieur à la somme des deux autres.
$GI=8$cm et $GH+HI=4+2=6$cm donc $GI>GH+HI$. Cela ne respecte pas la règle de l'inégalité triangulaire.
Le triangle ne peut pas être construit.

Quel est le plus grand côté ?

Question 4

Ce triangle a été conçu à main levée. Est-il possible de le réaliser en vrai selon la règle de l'inégalité triangulaire ?

Dans le triangle $KJL$, le plus grand côté est $KJ$. 
Un triangle est réalisable en respectant l'inégalité triangulaire si le côté le plus grand est inférieur à la somme des deux autres.
$KJ=7$cm et $KL+LJ=4+3=7$cm donc $KJ=KL+LJ$.

Cela ne respecte pas la règle de l'inégalité triangulaire. Dans ce cas précis d'égalité, les points devraient être alignés.

Le triangle ne peut pas être construit.

Faire la somme des 2 côtés les plus petits.

Question 5

Ce triangle a été conçu à main levée. Quelle est la condition de longueur de $AB$ pour que ce triangle respecte la règle de l'inégalité triangulaire et soit réalisable ?

Noter que $AC$ resterait le plus grand côté.

Dans le triangle $ABC$, le plus grand côté est $AC$. On en déduit que $AB<10$

Un triangle est réalisable en respectant l'inégalité triangulaire si le côté le plus grand est inférieur à la somme des deux autres.

$AC=10$cm et doit respecter la règle suivante :

$AC<AB+BC$ donc $10<AB+4$.

On comprend que $AB$ doit être supérieur à $6$ pour que $AB+BC$ soit supérieur à $10$.

Conclusion : $6<AB<10$ où encore : $AB$ doit être compris entre $6$ et $10$ cm.

$AC<AB+BC$