Cours Suites géométriques
Exercice d'application Lancer le programme

En traversant une plaque de verre teintée, un rayon lumineux perd 20 % de son intensité lumineuse.

L’intensité lumineuse est exprimée en candela (cd). On utilise une lampe torche qui émet un rayon d’intensité lumineuse réglée à $400$ cd.

On superpose $n$ plaques de verres identiques ($n$ étant un entier naturel) et on désire mesurer l’intensité lumineuse $I_n$ du rayon à la sortie de la $n-$ième plaque.

On note $U_0 = 400$ l’intensité lumineuse du rayon émis par la lampe torche avant de traverser les plaques (intensité lumineuse initiale). Ainsi, cette situation est modélisée par la suite $(I_n)$.

1. Montrer par un calcul que $I_1= 320$.

2. a. Pour tout entier naturel $n$ , exprimer $I_{n+1}$ en fonction de $I_n$.

    b. En déduire la nature de la suite $(I_n)$. Préciser sa raison et son premier terme.

    c. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $I_n$ en fonction de $n$.

3. On souhaite déterminer le nombre minimal $n$ de plaques à superposer afin que le rayon initial ait perdu au moins 70 % de son intensité lumineuse initiale après sa traversée des plaques.

    a. Afin de déterminer le nombre de plaques à superposer, on considère la fonction Python suivante.

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     Préciser, en justifiant, le nombre $j$ de sorte que l’appel nombrePlaques(j) renvoie le nombre de plaques à superposer.

     b. Le tableau suivant donne des valeurs de $I_n$. Combien de plaques doit-on superposer ?

$n$ $0$ $1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$ $7$
$I_n$ $400$ $320$ $256$ $204,8$ $163,84$ $131,07$ $104,85$ $83,886$

1) Rappel de cours : Diminuer un nombre de $t\%$ revient à la multiplier par le coefficient multiplicateur $CM$ suivant : $CM = 1-\dfrac{t}{100}$

Dans cet exercice, l'intensité lumineuse diminue de $20\%$ pour chaque plaque traversée.

On obtient donc :

$CM = 1-\dfrac{20}{100}$

$CM = 1-0,2$

$CM=0,8$

Ainsi : 

$I_1=I_0 \times 0,8$

$I_1=400\times 0,8$

$I_1=320$

 

2) a) On obtient chaque terme de la suite en multipliant le précédent par $0,8$. Ainsi :

Pour tout entier naturel $n$, $I_{n+1}=0,8 \times I_n$

    b) Par définition, il s'agit d'une suite géométrique de raison $q=0,8$ et de premier terme $I_0=400$.

    c) On applique la propriété du cours : Pour tout entier naturel $n$,  $I_n=I_0 \times q^n$

    Où encore : $I_n=400 \times {0,8}^n$

 

3) Pour que le rayon initial ait perdu au moins $70\%$ de son intensité, on calcule le coefficient mUltiplicateur associé à une baisse de $70\%$ :

$CM = 1-\dfrac{70}{100}$

$CM = 1-0,7$

$CM=0,3$

L'intensité du rayon doit  faut qu'il soit inférieur à $400\times 0,3= 120$

Ainsi la valeur de $j$ dans l'algorithme est $120$.

 

4) On note dans le tableau que l'intensité est inférieure à $120$ lorsqu'on superpose $6$ plaques.