Cours Suites géométriques
Exercice

L'énoncé

On considère la suite de nombres réels \((u_n)\) définie sur \(\mathbb{N}\) par :
\(u_0 = -1, u_1 = \dfrac{1}{2}\) et, pour tout entier naturel \(n\) :\( u_{n+2} = u_{n+1} - \dfrac{1}{4}u_n\)


Question 1

Calculer \(u_2\) et en déduire que la suite \((u_n)\) n'est ni arithmétique ni géométrique.

D'après la définition \(u_2 = u_1 - \dfrac{1}{4} u_0 = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}\)

  • Si la suite était géométrique, d'après les deux premiers termes la raison serait égale à \(-\dfrac{1}{2}\) ; or \(u_1 \times \left (- \dfrac{1}{2} \right ) \neq u_2\)
  • Si la suite était arithmétique, d'après les deux premiers termes la raison serait égale à :
    \(\dfrac{1}{2} - (-1) = \dfrac{3}{2}\) ; or \(u_1 + \left( \dfrac{3}{2} \right ) = \dfrac{4}{2} = 2 \neq u_2\)
  • Conclusion : la suite \((u_n)\) n'est ni arithmétique ni géométrique.

D’après la définition, \(u_2 = u_1 – \dfrac{1}{4}u_0 = …\).


Une suite arithmétique est telle que pour tout \(n\), \(u_{n+1} – u_n =\) constante.
Par conséquent pour prouver qu’elle ne l’est pas il suffit de trouver un contre-exemple, par exemple que \(u_2 – u_1 \neq u_1 – u_0\)


Une suite géométrique non nulle est telle que pour tout \(n\), \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\) = constante.
Par conséquent pour prouver qu’elle ne l’est pas il suffit de trouver un contre-exemple, par exemple que \(\dfrac{u_2}{u_1} \neq \dfrac{u_1}{u_0}\)

Question 2

On définit la suite \((v_n)\) en posant, pour tout entier naturel \(n\) : \(v_n = u_{n+1} - \dfrac{1}{2}u_n\)

Calculer \(v_0\).

\(v_0 = u_1 - \dfrac{1}{2}u_0 = \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}(-1) = 1\).

\(v_0 = u_1 – \dfrac{1}{2}u_0 = …\).

Question 3

Exprimer \(v_{n+1}\) en fonction de \(v_n\).

On a pour tout naturel \(n\),

\(v_{n+1} = u_{n+2} - \dfrac{1}{2}u_{n+1}\)

\(v_{n+1} = u_{n+1} - \dfrac{1}{4}u_n - \dfrac{1}{2}u_{n+1}\)

\(v_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_{n+1}-\dfrac{1}{4}u_n\)

\(v_{n+1} = \dfrac{1}{2}\left ( u_{n+1} - \dfrac{1}{2}u_n \right )\)

\(v_{n+1} = \dfrac{1}{2}v_n\)

Pensez toujours à lire les questions suivantes, en l’occurrence dans le 2.b. on demande de prouver que \((v_n)\) est une suite géométrique de raison \(\dfrac{1}{2}\), c’est un bel indice pour résoudre cette question !


Calculons donc \(v_{n+1} = u_{n+2} - \dfrac{1}{2}u_{n+1}\) or \(u_{n+2} = u_{n+1} – \dfrac{1}{4}u_n\), remplaçons donc l’expression de \(u_{n+2}\) dans celle de \(v_{n+1}\)


Vous devez arriver à prouver que \(v_{n+1} = \dfrac{1}{2}v_n\)

Question 4

En déduire que la suite \((v_n)\) est géométrique de raison \(\frac{1}{2}\).

\[v_{n+1} = \frac{1}{2}v_n\] signifie que la suite \((v_n)\) est une suite géométrique de premier terme 1 et de raison \(\frac{1}{2}\).

Cette question signifie que dans la question précédente vous avez dû prouver que \(v_{n+1} = \frac{1}{2}v_n\). Ce qui est la définition même d’une suite géométrique.


N’hésitez pas également à préciser le premier terme de cette suite, même si ce n’est pas demandé, c’est du meilleur effet sur le correcteur !

Question 5

Exprimer \(v_n\) en fonction de \(n\).

On a donc quel que soit \(n\) \(\in\) \(\mathbb{N}\), \[v_n = \left ( \frac{1}{2} \right )^n = \frac{1}{2^n}\]

C’est une pure question de cours… Quelle formule permet de calculer n’importe quel terme \(u_n\) d’une suite géométrique en fonction de \(n\) et de la raison ?


\(v_n = v_o \times (\frac{1}{2})^n\) et donc connaissant \(v_0\) depuis la question 2.

Question 6

On définit la suite \((w_n)\) en posant, pour tout entier naturel \(n\) : \(w_n = \dfrac{u_n}{v_n}\)

Calculer \(w_0\).

\(w_0 = \dfrac{u_0}{v_0} = \dfrac{-1}{1} = -1\).

\(w_0 = \dfrac{u_0}{v_0}\).

Question 7

En utilisant l'égalité \(u_{n+1} = v_n + \dfrac{1}{2}u_n\), exprimer \(w_{n+1}\) en fonction de \(u_n\) et de \(v_n\).

On a \(w_{n+1} = \dfrac{u_{n+1}}{v_{n+1}} = \dfrac{v_n+\frac{1}{2}u_n}{\frac{1}{2}v_n} = 2 + \dfrac{u_n}{v_n} \)

Ici il y a un indice important …. Mais tout d’abord \(w_{n+1} = \dfrac{u_{n+1}}{v_{n+1}}\)


Utilisez ensuite le fait que \(v_{n+1} = \dfrac{1}{2}v_n\)

Question 8

Montrez que pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\), \(w_{n+1} = 2 + w_{n}\).

On a par définition \(\dfrac{u_{n}}{v_{n}} = w_n\)

Nous avons prouvé que \(w_{n+1} = \dfrac{u_{n+1}}{v_{n+1}} = \dfrac{v_n+\frac{1}{2}u_n}{\frac{1}{2}v_n}\)

On a ainsi :

\(w_{n+1} = \dfrac{2v_n+u_n}{v_{n}}\)

\(w_{n+1} = \dfrac{2v_n}{v_n} + \dfrac{u_n}{v_{n}}\)

On en conclut que : \(w_{n+1} = 2 + w_n\)

Passage un peu délicat… dans la question précédente, vous avez prouvé que \(w_{n+1} = \dfrac{u_{n+1}}{v_{n+1}} = \dfrac{v_n+\frac{1}{2}u_n}{\frac{1}{2}v_n}\) ou encore mieux \(w_{n+1} = \dfrac{2V_n+u_n}{v_{n}}\), pensez maintenant à « séparer » cette écriture.


Et simplifier les termes \(v_n\).

Question 9

Exprimer \(w_n\) en fonction de \(n\).

L'égalité précédente montre que la suite \((w_n)\) est une suite arithmétique de premier terme $-1$ et de raison $2$.
On a donc \(w_n = w_0 + n \times 2=-1+2n\)

Encore une pure question de cours… Que signifie pour la suite \(w_n\), l’égalité trouvée dans la question 8 ?


Quelle formule permet de calculer n’importe quel terme \(w_n\) d’une suite arithmétique en fonction de \(n\) et de la raison ?

Question 10

Montrer que pour tout entier naturel \(n\),  \(u_n = \dfrac{2n-1}{2^n}\)

On a trouvé que \(w_n = 2n-1 = \dfrac{u_n}{v_n} = \dfrac{u_n}{\dfrac{1}{2^n}} = 2^n \times u_n\)

Donc \(u_n = \dfrac{2n-1}{2^n}\)

Car \(2^n \neq 0\) quel que soit \(n\) \(\in\) \(\mathbb{N}\).

Là on vous demande l’expression de \(u_n\) en fonction de \(n\), ça peut laisser perplexe puisque qu’on sait depuis le début du problème que \(u_n\) n’est ni géométrique ni arithmétique. Sans doute va-t-il falloir utiliser les suites \(v_n\) et \(w_n\).


Depuis la question 6, on sait que \(w_n = \dfrac{u_n}{v_n}\), donc on peut en déduire que \(u_n = …\)


Depuis la question 5, on sait que \(v_n = \dfrac{1}{2^n}\) et que \(w_n = 2n-1\)

Question 11

Pour tout entier naturel \(n\), on pose : \(S_n = \displaystyle\sum^{k=n}_{k=0} u_k = u_0 + u_1 + ...+ u_n\)

Démontrer par récurrence que pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\) : \(S_n = 2 - \dfrac{2n+3}{2^n}\)

Démonstration par récurrence :
- Initialisation : \(S_0 = u_0 = -1\) et \(2-\dfrac{2 \times 0+3}{2^0} = 2 - \dfrac{3}{1} = 2 - 3 = -1\).
La formule est vraie au rang 0.


- Hérédité : supposons qu'il existe un naturel \(k\) tel que :
\(S_k =\displaystyle\sum^{i=k}_{i=0} u_i = u_0 + u_1 + ... + u_k = 2 - \dfrac{2k+3}{2^k}\)

Alors,

\(S_{k+1} = S_k + u_{k + 1}\)

\(S_{k+1} = 2 - \dfrac{2k+3}{2^k}+\dfrac{2(k+1)-1}{2^{k+1}}\)

\(S_{k+1}= 2+\dfrac{-4k-6+2k+1}{2^{k+1}}\)

\(S_{k+1} = 2+\dfrac{-2k-5}{2^{k+1}}\)

\(S_{k+1} = 2-\dfrac{2k+5}{2^{k+1}}\)

\(S_{k+1} = 2-\dfrac{2(k+1)+3}{2^{k+1}}\)

La formule est vraie au rang \(k+1\).

On a donc démontré par récurrence que pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\) : \(S_n = 2 - \dfrac{2n+3}{2^n}\)

Démonstration par récurrence annoncée.
1\(^{ère}\) étape le rang 0 : \(S_0 = u_0 = -1\)
Est-ce que \(S_n = 2-\dfrac{2n+3}{2^n}\) donne le même résultat lorsque \(n=0\) ?


2\(^{ème}\) étape : supposons que ce soit vrai au rang \(n\), c’est-à-dire que \(S_n = 2 - \dfrac{2n+3}{2^n}\) est-ce toujours vrai au rang \(n + 1\) ?


\(S_{n+1} = \displaystyle\sum_{k=0}^{k=n+1}u_k = \displaystyle\sum_{k=0}^{k=n}u_k + u_{n+1} = S_n + u_{n+1} = …\)