Cours Bernoulli et loi binomiale
Exercice d'application

Exercice : Loi binomiale - Problème

Une urne contient $5$ boules gagnantes et $7$ boules perdantes. Une expérience consiste à tirer au hasard $4$ fois de suite une boule et de la remettre.

On appelle $X$ la variable aléatoire qui associe le nombre de tirage gagnant.

 

1) Prouver que $X$ suit une loi binomiale.

2) Calculer la probabilité d'obtenir $3$ boules gagnantes.

 

1) On répète 4 fois une expérience à deux issues : boules gagnantes ($5$ issues) ; boules perdantes ($7$ issues). Les tirages sont indépendants.

Le succès est d’obtenir une boule gagnante.

La probabilité du succès sur un tirage est égale à $\dfrac{5}{12}$

Les paramètres de la loi binomiale sont donc :  $n =4$ et $p=\dfrac{5}{12}$

 

2) $P(X=3) = \begin{pmatrix}4 \\3 \end{pmatrix} \left( {\dfrac{5}{12}} \right)^3 \left( {\dfrac{7}{12}} \right)^1 $

$P(X=3)= \begin{pmatrix} 4\\3 \end{pmatrix} \times \dfrac{125}{1728} \times \dfrac{7}{12} $

$P(X=3)= \begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix} \times \dfrac{875}{20736}$

Et finalement :

 $P(X =3) = 4 \times \dfrac{875}{20736} = \dfrac{875}{5184} \approx 0,17$