Indépendance de deux événements

Indépendance de deux évènements

Indépendance de deux événements

 

Définition

 

Deux événements sont considérés comme indépendants lorsqu’ils n’ont aucune influence l’un sur l’autre. 

Mathématiquement, deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$. 

 

Exemple : 

On lance un dé cubique bien équilibré. On note :

$A = \{ \text{obtenir un résultat pair} \} = {2, 4, 6 }$

$B = \{ \text{obtenir un multiple de 3} } = {3, 6 \} $

$C = \{ \text{obtenir un résultat supérieur ou égal à 4 \} }= {4, 5, 6 }$

 

On calcule la probabilité des événements précédents. 

$P(A) = \dfrac{3}{6} = dfrac{1}{2}$

$P(B) = \dfrac{2}{6} = dfrac{1}{3}$

$P(C) = \dfrac{3}{6} = dfrac{1}{2}$

 

On regarde si $A$ et $B$ sont indépendants.

$P(A) \times P(B) =  \dfrac{1}{2} times  \dfrac{1}{3} =  dfrac{1}{6}$.

L’événement $A \cap B$ correspond à un résultat pair et multiple de $3$ : c’est à dire $A \cap B = { 6 \} $.

Ainsi, $P(A \cap B) = \dfrac{1}{6} = P(A) \times P(B)$.

Finalement, $A$ et $B$ sont indépendants.

 

On regarde à présent l’éventuelle indépendance de $A$ et $C$. 

L’événement  $A \cap C$ correspond à ${4, 6 }$ c’est à dire des nombres pairs plus grands que $4$. 

Ainsi, $P(A \cap C) = \dfrac{2}{6} = dfrac{1}{3}$ et $P(A) \times P(C) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4} \neq dfrac{1}{3}$. 

Donc $A$ et $C$ \ne sont pas indépendants. 

 

Enfin, on prêtera garde au fait que les notions d’indépendance et d’incompatibilité \ne sont pas liées. 

Deux événements $A$ et $B$ sont incompatible si et seulement si $A \cap B = varnothing$