Coefficients binomiaux et triangle de Pascal

Coefficients binomiaux - Définition

Coefficients binomiaux

 

On considère un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ (le nombre de répétitions) et $p$ (la probabilité du succès).

Soit $k$ un entier tel que $0 \leq k \leq n$. 

Le coefficient binomial noté $left ( \begin{array}{c} n \ k \end{array} \right ) $, que l’on lit $k$ parmi $n$, est égal au nombre de chemins conduisant à $k$ succès “S” dans l’arbre pondéré représentant le schéma de Bernoulli.

 

Exemple : 

Considérons $n = 3$ et $k = 2$. ($0 \leq k \leq 3$) 

arbre-probabilité

On cherche à calculer 2 parmi 3, c’est à dire $left ( \begin{array}{c} 3 \ 2 \end{array} \right ) $.

On doit donc compter le nombre de chemins contenant 2 succès : il y a 3 chemins. 

Ainsi  $left ( \begin{array}{c} 3 \ 2 \end{array} \right ) = 3$.

De même, $left ( \begin{array}{c} 3 \ 1 \end{array} \right ) = 3$.

Ou encore $left ( \begin{array}{c} 3 \ 0 \end{array} \right ) = 1$ car il n’y a qu’un chemin avec 0 succès (et donc 3 échecs).

Coefficients binomiaux - Propriétés

Coefficients binomiaux – Propriétés 

 

Propriétés :

 

1) Pour tout $n \in mathbb{N},$

$left ( \begin{array}{c} n \ 0 \end{array} \right )  = 1$ car cela correspond au chemin où il n’y a que des échecs, et il n’y en a qu’un seul.

$left ( \begin{array}{c} n \ n  \end{array} \right )  = 1$ car cela correspond au chemin où il n’y a que des succès, et il n’y en a qu’un seul.

$left ( \begin{array}{c} n \ 1 \end{array} \right )  = n$

 

2) Pour tout $n \in mathbb{N}$ et $0 \leq k \leq n$

$left ( \begin{array}{c} n \ n – k \end{array} \right )  = \left ( \begin{array}{c} n \ k \end{array} \right ) $, c’est une propriété de symétrie. 

 

3) Pour tout $n \in mathbb{N}$ et $0 \leq k \leq n$

$left ( \begin{array}{c} n \  k \end{array} \right ) + \left ( \begin{array}{c} n \ k  + 1end{array} \right )  = \left ( \begin{array}{c} n + 1 \ k + 1 \end{array} \right ) $

 

Exemples :

Calculons $left ( \begin{array}{c} 6 \  5 \end{array} \right ) $ qui est égal à $left ( \begin{array}{c} 6 \  6 – 5 \end{array} \right ) = \left ( \begin{array}{c} 6 \  1 \end{array} \right ) = 6 $

Calculons $left ( \begin{array}{c} 4 \  2 \end{array} \right ) $ qui est égal à $left ( \begin{array}{c} 3 + 1 \  1 + 1 \end{array} \right )$.

On applique alors la propriété 3) avec $k = 1$ et $n = 3$, $left ( \begin{array}{c} 6 \  5 \end{array} \right ) =  \left ( \begin{array}{c} 3 \  1 \end{array} \right ) + \left ( \begin{array}{c} 3 \  1 \end{array} \right ) = 3 + \left ( \begin{array}{c} 2 + 1 \  1 + 1 \end{array} \right )$ (en appliquant les propriétés 1) $ = 3 + \left ( \begin{array}{c} 2 \  1 \end{array} \right )  + \left ( \begin{array}{c} 2 \  2 \end{array} \right ) = 3 + 2 + 1 $ (en appliquant les propriétés 1) $ = 6 $

 

La calculatrice permet de calculer directement les coefficients binomiaux.

Triangle de Pascal

Le triangle de Pascal 

 

Le triangle de Pascal permet de trouver les valeurs de $k$ parmi $n$, c’est à dire les coefficients binomiaux.

La première ligne contient les valeurs de $k$ alors que la première colonne contient les valeurs de $n$.

La première colonne ($k = 0$) se remplit à partir de la formule $left ( \begin{array}{c} n \ 0 \end{array} \right )  = 1$ 

La diagonale ($k = n$) se remplit à l’aide de la formule $left ( \begin{array}{c} n \ n  \end{array} \right )  = 1$.

La deuxième colonne ($k = 1$) se remplit à l’exception de la première case (car $k$ doit être inférieur à $n$) à l’aide de la formule $left ( \begin{array}{c} n \ 1 \end{array} \right )  = n$.

Ainsi, par exemple la troisième ligne ($n = 2$) vaut $ \left ( \begin{array}{c} 2 \ 1 \end{array} \right )  = 2$. 

 

Comme $k$ doit être inférieur à $n$, on \ne peut remplir que la partie inférieure du tableau : il apparait alors un triangle. 

 

Pour remplir le reste du tableau, on utilise la formule suivante

$left ( \begin{array}{c} n \  k \end{array} \right ) + \left ( \begin{array}{c} n \ k  + 1end{array} \right )  = \left ( \begin{array}{c} n + 1 \ k + 1 \end{array} \right ) $.

Cette dernière se traduit par le fait qu’une case correspond à la somme du coefficient de la case du dessus et du coefficient de la case à gauche de cette dernière. 

Ainsi, par exemple $left ( \begin{array}{c} 3 \  2  \end{array} \right ) =   \left ( \begin{array}{c} 2 \ 2end{array} \right )  +  \left ( \begin{array}{c}2 \ 1 \end{array} \right ) = 1 + 2 = 3$

 

On obtient alors le tableau suivant : 

triangle_pascal

 

On retrouve la propriété de symétrie des coefficients :

$left ( \begin{array}{c} n \ n – k \end{array} \right )  = \left ( \begin{array}{c} n \ k \end{array} \right ) $.