Annale – Intégrales, loi uniforme

Calculs d'intégrales

Calculs d’intégrales

 

Propriété

 

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$.

Soit $F$, une primitive de \(f\) sur $I$.

Pour tous réels $a$ et $b$ de l’intervalle $I$, on a :

$\displaystyle\int_{a}^b  f(t) dt= F(b)- F(a) $   que l’on note aussi

 $\displaystyle\int_{a}^b  f(t) dt=\left[F(t)\right]_{a}^b$

Exemples

Calculer :

$I$=\(\displaystyle\int_{1}^2 \dfrac{x^2+3x+1}{x^2}dx\).

$J$=\(\displaystyle \int_{0}^1 x(2x^2-1)^3 dx\).

 

Correction

Calcul de $I$

Étape 1 : La fonction $f(x)= \dfrac{x^2+3x+1}{x^2}$ est définie et continue sur $[1;2]$.

On décompose l’expression en trois fractions de dénominateur commun.

$I$=\(\displaystyle\int_{1}^2 (\dfrac{x^2}{x^2}+\dfrac{3x}{x^2}+\dfrac{1}{x^2})dx\)

$I$=\(\displaystyle\int_{1}^2 (1+\dfrac{3}{x}+\dfrac{1}{x^2})dx\)

$I$=\(\displaystyle\int_{1}^2 dx+ \int_{1}^2\dfrac{3}{x}dx+ \int_{1}^2\dfrac{1}{x^2}dx\)

Étape 2 : On peut définir des primitives de chaque expression.

$I$= \(\displaystyle \left[x+3\ln x-\dfrac{1}{x}\right]_{1}^2\)

Étape 3 : On calcule $F(2)-F(1)$.

$I$= \(\displaystyle (2+3\ln 2-\dfrac{1}{2})-(1+3\ln 1-\dfrac{1}{1})\)

$I$= \(\displaystyle \dfrac{3}{2}+3\ln 2 \)  (unité d’aire).

 

Calcul de $J$

On pose : $u(x)=2x^2-1$ et $u'(x)=4x$.

On modifie l’expression pour la faire apparaître sous la forme $u’\times u^3$.

$J$=\(\displaystyle \dfrac{1}{4} \int_{0}^1 4x(2x^2-1)^3 dx \)

$J$=\(\displaystyle \dfrac{1}{4}\left[\dfrac{1}{4}(2x^2-1)^4\right]_{0}^1 \)

$J$=\(\displaystyle \dfrac{1}{4}\left((\dfrac{1}{4}(1)^4)-(\dfrac{1}{4}(-1)^4)\right)\)

$J$=\(\displaystyle \dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}\right)\)

$J$= $0$

Loi uniforme sur [a ; b]

Loi uniforme sur un intervalle $[a;b]$

Définition

 

$X$, une variable aléatoire suit une loi uniforme sur $[a;b]$ si et seulement si la fonction de densité de probabilité est :

\( \displaystyle f(x)=\frac{1}{b-a}\).

On vérifie que  \( \displaystyle \int \limits_a^{b}f(x)dx=1\).

 

Propriétés

 

Pour tout intervalle $[c;d]$ inclus dans $[a;b]$, on a:

\( \displaystyle P(c\leqslant X \leqslant d)=\frac{d-c}{b-a}\).

 

loi-uniforme

Exemple

1) On choisit un nombre réel au hasard dans l’intervalle $[0 ;5]$. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre choisi.

  a)Quelle est la probabilité que ce nombre soit supérieur à 4 ?

  b)Compris entre $e$ et $\pi$ ? 

 

Correction

1 a) $X$ suit la loi uniforme sur $[0;5]$. La probabilité que ce nombre soit supérieur à 4 est :

$P(X > 4) = P( 4 < X\leq 5)=\displaystyle\frac{5-4}{ 5-0}=\displaystyle\frac{1}{ 5}$ 

1 b) La probabilité que ce nombre soit compris entre $e$ et $\pi$ est :

$\displaystyle P(e \leqslant X \leqslant \pi) = \frac{\pi – e}{5-0} \approx 0, 085$

 

Espérance mathématique – Propriétés

 

Si $X$ suit une loi uniforme sur un intervalle $I = [a; b]$, alors son espérance mathématique vaut :

\( \displaystyle E(X)=\int \limits_a^{b}tf(t)dt= \int \limits_a^{b}t\times \frac{1}{b-a}dt \)

Soit après calcul :

\( \displaystyle E(X)=\frac{a+b}{2}\).

 

Remarque :

Dans l’exercice précédent, on trouve : $E(X) =\displaystyle \frac{0+5}{2}= 2,5$.

 

 

 

 

La boucle Pour

La boucle Pour

 

Dans un algorithme, il est possible de vouloir écrire une boucle que l’on souhaite répéter un nombre de fois connu : on utilise alors une boucle Pour. 

 

Exemple :

On souhaite lancer $n$ fois un dé à six faces et afficher à chaque fois la face obtenue.

 

Un algorithme qui traduit cet exemple est le suivant.

 

Variables : $n, f$ (où $n$ est le nombre de répétitions de la boucle, c’est à dire le nombre de lancés et $f$ la face obtenue lors d’un lancé)

Entrée :     Saisir $n$ (on indique le nombre de fois que l’on souhaite lancer le dé)

Traitement : (on écrit la boucle Pour, on utilise un nombre $i$ appelé compteur qui varie de 1 à 6 et qui compte ainsi le nombre de répétitions des opérations comprises entre les instructions Pour et Fin Pour)

                Pour $i$ allant de 1 à $n$

                      nombre_entier(1, 6) $\to f$ (il s’agit d’une fonctionnalité préexistante qui permet de donner un nombre entier compris entre 1 et 6 aléatoirement)

                      Afficher $f$

                Fin Pour

Sortie

 

Sans les commentaires, l’algorithme est donc :

 

  • Variables :    $n, f$ 
  • Entrée :        Saisir $n$ 
  • Traitement : Pour $i$ allant de 1 à $n$

                               nombre_entier(1, 6) $\to f$ 

                               Afficher $f$

                           Fin Pour

  • Sortie

 

Remarque :

On considère par exemple que l’on souhaite faire $n = 3$ lancés.

Au début $i$ vaut 1. La fonction nombre_entier(1, 6) donne la face obtenue puis on l’affiche.

On recommence ensuite la boucle, $i$ vaut alors 2. A nouveau, la fonction nombre_entier(1, 6) donne la face obtenue puis on l’affiche.

On recommence de même la boucle, $i$ vaut alors 3. On obtient un nombre au hasard que l’on affiche.

Enfin, $i$ valant 3, on quitte la boucle et le programme se termine. 

Si on avait écrit l’instruction “Afficher $f$” en dehors de la boucle, l’algorithme aurait alors stocké 6 fois une face et aurait à la fin de la boucle affiché la dernière face obtenue. 

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