Vecteurs colinéaires

Vecteurs colinéaires

 

Définition

 

Soient $overrightarrow{u}$ et $overrightarrow{v}$ deux vecteurs,

$overrightarrow{u}$ et $overrightarrow{v}$ sont colinéaires si et seulement si il existe un réel $k$ tel que $overrightarrow{v} = k overrightarrow{u}$.

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(Dans ce cas, $overrightarrow{u}=-2times overrightarrow{v}$ et le réel $k$ vaut $-2$)

 

Des vecteurs colinéaires sont portés par des droites parallèles : ils ont donc la même direction mais pas forcément le même sens

La colinéarité se voit sur un graphique avec la pente des vecteurs, même si cela \ne constitue pas une preuve. 

 

Critère de colinéarité (dans un repère)

 

Soit un repère $(O, overrightarrow{i}, overrightarrow{j})$,

Soient deux vecteurs $overrightarrow{u} \left ( \begin{array}{c} x \y \ \end{array} \right )$ et $overrightarrow{v} \left ( \begin{array}{c} x’ \ y’ \ \end{array} \right )$,

$overrightarrow{u}$ et $overrightarrow{v}$ sont colinéaires si et seulement si $xtimes y’ – y \times x’ = 0$. 

Cela revient à dire que les coordonnées des vecteurs sont proportionnelles

 

Considérons $overrightarrow{u} \left ( \begin{array}{c} 3 \ 2\ \end{array} \right )$ et $overrightarrow{v} \left ( \begin{array}{c} 9 \ 6 \ \end{array} \right )$, il apparait que $overrightarrow{v} = 3 overrightarrow{u}$.

D’après la définition, ces deux vecteurs sont colinéaires. 

Si on applique le critère de colinéarité, on trouve $3times 6 – 2 \times 9 = 18 – 18 = 0$ : les deux vecteurs sont colinéaires. 

Vecteurs colinéaires - Applications

A retenir :
Trois points (A, B, C) sont alignés si et seulement si les vecteurs ( overrightarrow{AB}) et (overrightarrow{AC}) sont colinéaires.
Deux droites ((AB)) et ((CD)) sont parallèles si et seulement si les vecteurs ( overrightarrow{AB}) et ( overrightarrow{CD}) sont colinéaires.