Coordonnées du milieu d’un segment, distances

Coordonnées du milieu d'un segment

Coordonnées du milieu d’un segment

 

Formules

 

On se place dans un repère.

Soit $I(x_I; y_I)$ le milieu de $[AB]$ avec $A(x_A; y_A)$ et $B(x_B; y_B)$,

Les coordonnées de $I$ sont :

 

$left \{ \begin{array}{l} x_I = dfrac{x_A + x_B}{2} \  y_I = dfrac{y_A + y_B}{2} \end{array} right.$

 

 $ dfrac{x_A + x_B}{2}$ est appelée une demi-somme.

 

Exemple

 

Considérons le schéma suivant et calculons les coordonnées du point $I$ milieu de $[AB]$:

 

73e875d544f99a1ddb38791dec5b96ec214a2a32.png

 

D’après la formule, les coordonnées sont :

 

$left \{ \begin{array}{l} x_I = dfrac{-2 + 3}{2} \  y_I = dfrac{1 + (-2)}{2} \end{array} right.$

 

Finalement, $Ileft(dfrac{1}{2}; dfrac{-1}{2}right)$. 

Longueur d’un segment

Longueur d’un segment

 

Formule

On se place dans un repère orthonormé $(O; I; J)$.

Soient $A(x_A; y_A)$ et $B(x_B; y_B)$ deux points du plan,

la longueur $AB$ est donnée par :

 

$AB = sqrt{(x_B – x_A)^2 + (y_B – y_A)^2}$.

 

Il faudra prêter une attention particulière à l‘ordre lors de la soustraction.

 

Considérons le schéma suivant et déterminons la longueur $AB$ :

 

e4895c125d0e898f0c6807ba5be6d0225f01f12d.png

 

On a:

$AB =  sqrt{(-2 – 1)^2 + (1 – 3)^2} $

$AB= \sqrt{9 + 4} $

$AB= sqrt{13}$