Théorèmes de Pythagore et Thalès

Rappel 3e : Théorème de Thalès

Théorème de Thalès

 

Il existe deux situations où l’on peut appliquer le théorème de Thalès qui sont représentées par le schémas ci-dessous. 

 

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Deux droites doivent donc être sécantes et sont coupées par deux droites parallèles. 

 

Théorème 

 

Si $O, A, M$ alignés

    $O, B, P$ alignés

    $(AB) // (MP)$

Alors $dfrac{OA}{OM} = \dfrac{OB}{OP} = dfrac{AB}{MP}$.

 

Le point $O$ est appelé le point charnière

Ce théorème permet d’obtenir des quotients de longueurs, permettant ainsi de trouver des d’autres longueurs.

 

Exemple :

Les points $R, S, U$ sont alignés ainsi que les points $T, R, V$.

Les droites $(ST)$ et $(VU)$ sont parallèles. Donnons une valeur approchée de $RV$ à $10^{-2}$.

 

 

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D’après le théorème de Thalès, $dfrac{RU}{RS} = \dfrac{RV}{RT} = dfrac{VU}{ST}$.

$dfrac{64}{12} = dfrac{RV}{10}$

$12 \times RV = 10 \times 64$

$RV = \dfrac{640}{12} \approx 53,33$

 

NB : à la toute fin de la vidéo, il y a une erreur de calcul, 640/12=53,3 et non 48 🙂 !!

Rappel 3e : Réciproque du théorème de Thalès

Réciproque du théorème de Thalès

 

 

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Théorème :

Si $O, E, G$ d’une part et $O, F, H$ d’autre part sont alignés dans le même ordre

et si $dfrac{OE}{OG} = dfrac{OF}{OH}$

Alors les droites $(EF)$ et $(GH)$ sont parallèles

 

Exemple :

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Démontrer que les droites $(DE)$ et $(FG)$ sont parallèles. 

On commence donc par calculer de manière distincte $dfrac{OG}{OD}$ et $dfrac{OF}{OE}$.

Ainsi $dfrac{OG}{OD} = dfrac{5}{7}$.

De même, $dfrac{OF}{OE} = dfrac{3}{4,2} = \dfrac{30}{42} = dfrac{5}{7}$.

Il \ne faut pas donner les résultats sous forme approchée car il \ne sera plus possible de comparer les deux fractions : il faut donc écrire le résultat sous la forme d’une fraction irréductible. 

Donc, $dfrac{OG}{OD} = dfrac{OF}{OE}$.

$O, D, G$ d’une part et $O, E, F$ d’autre part sont alignés dans le même ordre.

Alors d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites $(DE)$ et $(FG)$ sont parallèles. 

Rappel 3e : Théorème de Pythagore

Théorème de Pythagore

 

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Si $ABC$ est un triangle rectangle en $A$, alors ${AB}^2 + {AC}^2 = {BC}^2$

Ou encore :

la somme des carrés des deux petits côtés est égale au carré de l’hypoténuse

Cette relation permet, en connaissant la longueur de deux côtés, de trouver la longueur du dernier côté. 

Exemple :

Soit $OMP$ un triangle rectangle en $O$, tel que $OM = 5 $ et $MP = 13$.

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D’après le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle $OMP$ rectangle en $O$,

${OM}^2 + {OP}^2 = {MP}^2$ 

$5^2 + {OP}^2 = {13}^2$

$25 + {OP}^2 = 169$

${OP}^2 = 169 – 25$

${OP}^2 = 144$

$OP = sqrt{144}$

$OP = 12$

Rappel 3e : Réciproque du théorème de Pythagore

Réciproque du théorème de Pythagore

 

Soit $ABC$ un triangle,

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si ${AB}^2 + {AC}^2 = {BC}^2$, alors $ABC$ est un triangle rectangle en $A$

ou encore

si la somme des carrés des deux petits côtés est égale au carré du troisième alors le triangle est rectangle et le troisième côté est l’hypoténuse

 

Ce théorème permet de prouver qu’un triangle est rectangle en connaissant la valeur de ses côtés.

 

Exemple :

Soit un triangle $RST$ tel que $RT = 1,2$  $TS = 1,6$  $RS = 2$. 

Si l’énoncé \ne fournit pas de schéma, il est utile d’en faire un à main levée qui respecte les proportions (le plus grand côté sur le schéma correspond au plus grand côté du triangle $RST$). 

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Si ce triangle est rectangle, alors son hypoténuse est $RS$ car c’est le plus grand côté.

On calcule alors ${RS}^2$ que l’on compare à ${RT}^2 + {TS}^2$.

Ainsi, ${RS}^2 = 2^2 = 4$.

De même, ${RT}^2 + {TS}^2 = {1,2}^2 + {1,4}^2 = 1,44 + 2,56 = 4$.

Donc ${RS}^2 = {RT}^2 + {TS}^2$.

 

 

D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $RST$ est rectangle en $T$.