Dérivée d’une somme, d’un produit et d’un quotient

Opérations et dérivées

Opérations et dérivées

 

Soient $u$ et $v$ deux fonctions définies et dérivables sur $I$.

 

1) Dérivée d’une somme 

La dérivée d’une somme de fonctions est égale à la somme des dérivées de chaque fonction : c’est à dire

$(u + v)’ = u’ + v’$. 

 

Par exemple $f(x) = x^2 + dfrac{1}{x}$.

Il faut dans un premier temps chercher le domaine de définition et l’ensemble de dérivabilité

La fonction $u(x) = x^2$ est définie et dérivable sur $mathbb{R}$ et la fonction $v(x) = dfrac{1}{x}$ est définie et dérivable sur $mathbb{R}^*$. 

Ainsi, la fonction $f$ est définie et dérivable sur $mathbb{R}^*$. 

Pour $x in mathbb{R}^*, f'(x) = 2x + dfrac{-1}{x^2}$. 

 

2) Dérivée du produit d’une fonction par un réel $k$

La formule est la suivante : $(ku)’ = k \times u’$ avec $k \in mathbb{R}$. 

 

Exemple, on souhaite déterminer la dérivée de $f(x) = -2x^2$.

La fonction $f$ est définie et dérivable sur $mathbb{R}$ ainsi:

pour tout réel $x$, $f'(x) = -2 \times (2x) = -4x$. 

 

3) Dérivée de l’inverse d’une fonction

La formule est $left ( \dfrac{1}{v} \right )’ =  dfrac{-v’}{v^2} $ pour tout $x \in I$ et il faudra veiller à ce que $v(x) \neq 0$. 

 

Exemple, considérons la fonction $f(x) = dfrac{1}{x+1}$. 

$f$ est définie et dérivable sur $mathbb{R} \backslash {-1}$:

Pour tout réel $x$ différent de $-1, f'(x) = dfrac{-1}{(x+1)^2}$. 

 

4) Dérivée du produit de deux fonctions

La dérivée d’un produit est donnée par la formule suivante :
$(uv)’ = uv’ + u’v$. 

 

Exemple : Soit $f(x) = (3x + 1)times sqrt{x}$,

la fonction $x \mapsto 3x + 1$ est définie et dérivable sur $mathbb{R}$

La fonction $x \mapsto sqrt{x}$ est définie sur $mathbb{R}_+$ et dérivable sur $mathbb{R}_+^*$.

Ainsi, $f$ est définie sur $mathbb{R}_+$ et dérivable sur $mathbb{R}_+^*$.

Pour tout $x in mathbb{R}_+^*, f'(x) = 3 \times \sqrt{x} + (3x + 1) \times dfrac{1}{2sqrt{x}}$. 

 

5) Dérivée du quotient de deux fonctions

La dérivée d’un quotient est $left ( \dfrac{u}{v} \right )’ = dfrac{u’v – uv’}{v^2}$. La fonction $v$ \ne s’annulant pas.

 

Exemple : Soit $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x – 4}$ définie et dérivable sur $mathbb{R} \backslash \{4 }$,

Pour tout $x$ différent de $4$,

$f'(x) = dfrac{2(x – 4) – (2x + 1) \times 1}{(x – 4)^2}$. 

$f'(x) = dfrac{-9}{(x – 4)^2}$.