Nombre dérivé

Nombre dérivé

 

Définition :

Soient $f$ une fonction définie sur $I$ et $a$ et $b$ deux points appartenant à la courbe représentative de la fonction $f$ ayant pour coordonnées respectives $(a; f(a))$ et $(a+h; f(a+h))$ où $h$ est un réel,

le coefficient directeur de la droite $(AB)$ est $dfrac{y_B – y_A}{x_B – x_A} = dfrac{f(a+h) – f(a)}{a + h – a} = dfrac{f(a+h) – f(a)}{h}$ : c’est aussi le taux d’accroissement

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Le réel $h$ est choisi de plus en plus petit de telle manière que le point $B$ se rapproche du point $A$ et que la droite $(AB)$ se rapproche de la droite bleue. 
On notera alors $lim limits_{h \to 0} dfrac{f(a+h) – f(a)}{h}$.

 

Si le résultat de ce calcul est un réel $l$, alors la fonction $f$ est dérivable en $a$ et $l$ est noté $f'(a)$ :

$f'(a)$ est le nombre dérivé de la fonction $f$ au point $a$. 

 

Exemple : 

On considère $f(x) = x^2$.

Soit $a$ un réel,

on commence par calculer le taux d’accroissement 

$dfrac{f(a+h) – f(a)}{h} = dfrac{(a+h)^2 – a^2}{h} = dfrac{a^2 + 2ah + h^2 – a^2}{h} = 2a + h \text{ après simplification par \} h$. 

Puis on calcule la limite de ce taux d’accroissement, $lim limits_{h \to 0} dfrac{f(a+h) – f(a)}{h} = 2a$. 

Or $2a$ est un nombre fini, donc la fonction $f$ est dérivable en $a$ et $f'(a) = 2a$.