Dérivées usuelles

Dérivées usuelles

Dérivées usuelles

Définition :

Soient $f$ une fonction définie sur $I$ et $a \in I$,

$f$ est dérivable en $a$ si la limite du taux d’accroissement calculé en $a$ existe et est finie.

$f$ est dérivable sur $I$ si et seulement si $f$ est dérivable pour tout $x \in I$.

On définit alors la fonction dérivée $f’$ qui à tout $x$ associe le nombre dérivé de la fonction $f$ calculé au point $x$.

Exemple :

Considérons la fonction $f(x) = x^2$ définie sur $\mathbb{R}$.

Soit $a \in \mathbb{R}$,

Calculons le taux d’accroissement au point $a$:

$\dfrac{f(a+h) – f(a)}{h} = \dfrac{(a + h)^2 + a^2}{h} = \dfrac{a^2 + 2ah + h^2 – a^2}{h} = \dfrac{2ah +h^2}{h} = 2a + h$

Puis on calcule la limite du taux d’accroissement :

$\lim \limits_{h \to 0} \dfrac{f(a+h) – f(a)}{h} = \lim \limits_{h \to 0} 2a + h = 2a$.

Or $2a$ est finie, donc $f'(a) = 2a$.

En outre, ce calcul est vrai pour tout $a \in \mathbb{R}$, ainsi, pour tout $x \in \mathbb{R}$, $f'(x) = 2x$.

Il est important de retenir le tableau contenant les dérivées usuelles suivantes qui peuvent être démontrées pour la plupart en suivant la méthode de l’exemple précédent :

Il faudra prêter attention au fait que l’ensemble de dérivabilité de la fonction racine carrée n’est pas égal à son ensemble de définition : elle est définie sur $\mathbb{R}_+$ et est dérivable sur $\mathbb{R}_+^*$.