Équations de droites - Définition

Équations de droites 

 

Définition:

 

On se place dans le plan muni d’un repère.

Toute droite du plan possède une équation de la forme :

$x = k$ si il s’agit d’une droite parallèle à $(Oy)$, où $k$ est un réel

$y = ax + b$ si il s’agit d’une droite sécante à $(Oy)$ : c’est l’équation réduite de la droite.

$a$  est un réel correspondant au coefficient directeur de la droite, il donne l’inclinaison de la droite.

$b$  est un réel correspondant à l’ordonnée à l’origine, c’est à dire l’ordonnée du point d’intersection de la droite avec l’axe des ordonnées. 

 

Exemple : 

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La droite $(d_1)$ est parallèle à l’axe des ordonnées. Son équation est donc de la forme $x = k$. Ainsi $k$ correspond à la valeur de l’abscisse. Tous les points de la droite ont même abscisse : $-2$, alors que leurs ordonnées sont variables. Ainsi, $x = -2$. 

Un point quelconque appartenant à la droite $(d_2)$ a pour ordonnée 3, et une abscisse quelconque : l’équation réduite de cette droite est donc $y = 3$. Il s’agit d’une équation réduite car on peut écrire cette équation comme $y = 0times x + 3$. 

La droite $(d_3)$ a une équation de la forme $y = ax + b$ mais il n’est pas possible de déterminer $a$ et $b$ car on \ne dispose d’aucune donnée pour cette droite. Il faudrait au moins les coordonnées de deux points.

 

Droites parallèles 

 

Considérons deux droites $(Delta)$ et $(Delta ‘)$ d’équations réduites :

$Delta : y = ax+b$

$Delta’ : y = a’x+b’$

Les droites $(Delta)$ et $(Delta ‘)$ sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur,

Autrement dit $(Delta) // (Delta ‘) \iff a =a’$

 

Si les deux droites ont une équation de la forme 

$Delta : x = k$

$Delta’ : x = k’$

alors elles sont parallèles. 

 

Points alignés

Points alignés

 

Deux points étant toujours alignés, on considérera trois points ou plus dans la suite.

Soient trois points $A(2;1), B(-3; -1)$ et $C(12; 5)$, 

On se contente de représenter uniquement les points $A$ et $B$.

Les points $A, B$ et $C$ sont ils alignés ?

 

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Méthode : 

  

Pour répondre à cette question, la méthode consiste à calculer le coefficient directeur de la droite $(AB)$ puis le coefficient de la droite $(AC)$. 

Or si ces coefficients directeurs sont égaux, alors les deux droites sont parallèles. 

Mais ces deux droites possèdent alors un point commun : $A$, les deux droites sont donc confondues : les points sont donc alignés. 

 

Il faut donc commencer par calculer les deux coefficients directeurs. 

Le coefficient directeur de la droite $(AB)$ est :

$a  =dfrac{y_B-Y_A}{x_B-x_A}=dfrac{-1 -1}{-3 – 2} = dfrac{2}{5}$. 

 

Le coefficient directeur de la droite $(AC)$ est :

$a’  =dfrac{y_C-Y_A}{x_C-x_A}= \dfrac{5 -1}{12 – 2} = \dfrac{4}{10} = dfrac{2}{5}$. 

 

Ainsi $a = a’$, les droites $(AB)$ et $(AC)$ sont donc parallèles et ont un point commun : les points $A, B$ et $C$ sont alignés. 

Le fait de tracer une droite reliant les trois points \ne prouve pas l’alignement.