Équations de droites - Définition

Équations de droites 

 

Définition:

 

On se place dans le plan muni d’un repère.

Toute droite du plan possède une équation de la forme :

$x = k$ si il s’agit d’une droite parallèle à $(Oy)$, où $k$ est un réel

$y = ax + b$ si il s’agit d’une droite sécante à $(Oy)$ : c’est l’équation réduite de la droite.

$a$  est un réel correspondant au coefficient directeur de la droite, il donne l’inclinaison de la droite.

$b$  est un réel correspondant à l’ordonnée à l’origine, c’est à dire l’ordonnée du point d’intersection de la droite avec l’axe des ordonnées. 

 

Exemple : 

616b1bae54bd54fdeb167361f669e4c7f7f89d89.png

 

La droite $(d_1)$ est parallèle à l’axe des ordonnées. Son équation est donc de la forme $x = k$. Ainsi $k$ correspond à la valeur de l’abscisse. Tous les points de la droite ont même abscisse : $-2$, alors que leurs ordonnées sont variables. Ainsi, $x = -2$. 

Un point quelconque appartenant à la droite $(d_2)$ a pour ordonnée 3, et une abscisse quelconque : l’équation réduite de cette droite est donc $y = 3$. Il s’agit d’une équation réduite car on peut écrire cette équation comme $y = 0\times x + 3$. 

La droite $(d_3)$ a une équation de la forme $y = ax + b$ mais il n’est pas possible de déterminer $a$ et $b$ car on ne dispose d’aucune donnée pour cette droite. Il faudrait au moins les coordonnées de deux points.

 

Droites parallèles 

 

Considérons deux droites $(\Delta)$ et $(\Delta ‘)$ d’équations réduites :

$\Delta : y = ax+b$

$\Delta’ : y = a’x+b’$

Les droites $(\Delta)$ et $(\Delta ‘)$ sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur,

Autrement dit $(\Delta) // (\Delta ‘) \iff a =a’$

 

Si les deux droites ont une équation de la forme 

$\Delta : x = k$

$\Delta’ : x = k’$

alors elles sont parallèles. 

 

Points alignés

Points alignés

 

Deux points étant toujours alignés, on considérera trois points ou plus dans la suite.

Soient trois points $A(2;1), B(-3; -1)$ et $C(12; 5)$, 

On se contente de représenter uniquement les points $A$ et $B$.

Les points $A, B$ et $C$ sont ils alignés ?

 

0ee3b1292dcdbee12ee24be0369ae841f14b6f8a.png

 

Méthode : 

  

Pour répondre à cette question, la méthode consiste à calculer le coefficient directeur de la droite $(AB)$ puis le coefficient de la droite $(AC)$. 

Or si ces coefficients directeurs sont égaux, alors les deux droites sont parallèles. 

Mais ces deux droites possèdent alors un point commun : $A$, les deux droites sont donc confondues : les points sont donc alignés. 

 

Il faut donc commencer par calculer les deux coefficients directeurs. 

Le coefficient directeur de la droite $(AB)$ est :

$a  =\dfrac{y_B-Y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{-1 -1}{-3 – 2} = \dfrac{2}{5}$. 

 

Le coefficient directeur de la droite $(AC)$ est :

$a’  =\dfrac{y_C-Y_A}{x_C-x_A}= \dfrac{5 -1}{12 – 2} = \dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5}$. 

 

Ainsi $a = a’$, les droites $(AB)$ et $(AC)$ sont donc parallèles et ont un point commun : les points $A, B$ et $C$ sont alignés. 

Le fait de tracer une droite reliant les trois points ne prouve pas l’alignement. 

Notre guide gratuit pour faire les bons choix de spécialités au lycée en 2023 est sorti !

X