Vecteur directeur d’une droite, équation cartésienne

Vecteur directeur d'une droite, équation cartésienne

Vecteur directeur d’une droite, équation cartésienne

 

I) Définition

Soit $(mathcal{D})$ une droite du plan,

on appelle vecteur directeur de $(mathcal{D})$ tout vecteur non nul $overrightarrow{u}$ qui possède la même direction que la droite $(mathcal{D})$. 

Si l’on connait deux points $A$ et $B$ de la droite, alors le vecteur $overrightarrow{AB}$ est un vecteur directeur de cette dernière.

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Comme le choix de $A$ et $B$ appartenants à le droite est arbitraire, il existe une infinité de vecteurs directeurs. 

Tous ces vecteurs directeurs ont la même direction, celle de $(mathcal{D})$, ils sont donc colinéaires. 

 

Exemple :

On se place dans un repère.

On appelle $(mathcal{d})$ la droite passant par les points $A(2;1)$ et $B(1;3)$. On souhaite donner les coordonnées d’un vecteur directeur de la droite $(mathcal{d})$.

D’après la propriété précédente, on sait que le vecteur $overrightarrow{AB}$ est un vecteur directeur de la droite, il \ne reste donc qu’à calculer ses coordonnées. 

$overrightarrow{AB}(x_B – x_A; y_B – y_A)$

Donc $overrightarrow{BA}(1 – 2; 3 – 1)$.

Finalement, un vecteur directeur de $(mathcal{d})$ est  $overrightarrow{AB}(-1; 2)$.

 

II ) Equation cartésienne d’une droite

 

Définition

Toute droite $(mathcal{D})$ admet une équation de la forme $ax + by + c = 0$ avec $(a, b) \neq (0, 0)$.

Cette équation est appelée équation cartésienne de la droite $(mathcal{D})$. 

 

Théorème 

Un vecteur directeur de $(mathcal{D})$ est $overrightarrow{u}(-b; a)$. 

 

Démonstration 

Soit $A(x_A; y_B)$ un point de la droite $(mathcal{D})$ et $overrightarrow{u}(alpha; beta)$ un vecteur directeur de la droite $(mathcal{D})$. 

Soit $M$ un point du plan de coordonnées $M(x; y)$,

$M(x; y) in (mathcal{D}) $  si et seulement si les vecteurs $overrightarrow{AM}(x_M – x_A; y_M – y_A)$ et $overrightarrow{u}(alpha; beta)$ sont colinéaires

si et seulement si det($overrightarrow{AM}, overrightarrow{u}) = left| \begin{array}{cc} x – x_a & \alpha \ y – y_a & \beta \end{array} right| = 0$ 

si et seulement $ (x – x_a)beta – (y – y_a)alpha = 0$

si et seulement si $beta x – \alpha y + \alpha y_a – \beta x_a = 0$.

Cette équation peut donc s’écrire $ax + by + c = 0$ avec $left \{ \begin{array}{l} a = \beta \ b = – \alpha \ c = alpha y_a – \beta x_a \end{array} right.$

Le vecteur directeur est donc $overrightarrow{u}(alpha; beta) = overrightarrow{u}(-b; a)$.