Équations du premier degré, équation produit

L'équation produit

L’équation produit

 

Définition

Une équation produit est une équation de la forme $a \times b = 0$ : un produit égal à $0$.

 

Propriété

Or un produit est nul lorsque, au moins, un de ses facteurs est nul.

Ainsi soit $a = 0$ soit $b = 0$ soit $a = b = 0$.  

 

Exemple : $(x + 1)(2x – 3) = 0$.

Il s’agit bien d’un produit, dont le premier facteur est $(x + 1)$ et le deuxième $(2x – 3)$. 

Or un produit est nul lorsque, au moins, un de ses facteurs est nul.

Cela signifie que $x + 1 = 0$ ou $2x – 3 = 0$.

 

Il faut donc résoudre deux équations.

Ainsi $x = – 1$ ou $2x = 3$ (en ajoutant 3 des deux côtés de l’égalité).

Donc $x = -1$ ou $x = dfrac{3}{2}$ (en divisant par 2 des deux côtés de l’égalité).

 

Les solutions de cette équation sont donc $-1$ et $dfrac{3}{2}$.  

Les équations du 1er degré

Les équations du 1er degré

 

Définition

Une équation est une égalité avec une inconnue $x$. Il \ne faut pas voir $x$ comme un lettre de l’aphabet mais comme un nombre qu’on \ne connait pas.

Résoudre une équation consiste à trouver la valeur de l’inconnue pour que l’égalité soit vraie. Une équation du premier degré est une équation dans laquelle l’inconnue est à la puissance 1.  

 

Propriété

Lorsque l’on effectue de opérations sur une équation, il faut penser à le faire des deux côtés de l’égalité. 

Pour faire “passer” un nombre de l’autre côté d’un signe $=$, on change son opération : une addition devient une soustraction, une multiplication devient une division.  

 

1) Equation de la forme $a + x = b$

On veut résoudre $2 + x = 7$.  On aurait parfaitement pu écrire $2+?=7$. C’est exactement la même démarche.

On veut trouver la valeur de $x$, on soustrait donc $-2$ des deux côtés. On obtient alors

$2 + x – 2 = 7 – 2$ donc

$x = 5$. 

On peut alors vérifier que $2 + 5 = 7$.

 

Pour résoudre $4 – x = 7$, on peut appliquer deux méthodes.

La première consiste à appliquer la précédente, à savoir enlever le 4 en soustrayant 4 de chaque côté :

$4 – x – 4 = 7 – 4$

donc $-x = 3$.

Puisque l’on souhaite obtenir la valeur de $x$ et non de $-x$, on multiplie de chaque côté par $-1$ :

$(-1) \times (-x) = 3 \times (-1)$.

Ainsi $x = -3$. 

La deuxième méthode consiste à enlever le $-x$ pour obtenir $+x$ de l’autre côté de l’égalité :

$4 – x + x = 7 + x$,

donc $4 = 7 + x$.

On soustraie donc des deux côtés $-7$ :

$4 – 7 = 7 + x – 7$.

Donc $x = -3$.

On peut alors vérifier que $4 – (-3) = 7$. 

 

2) Equation de la forme $ax = b$

L’équation à résoudre est $3x = 8$. Il faut donc diviser par 3 de chaque côté :

$dfrac{3x}{3} = dfrac{8}{3}$.

Donc $x = dfrac{8}{3}$. 

 

On souhaite résoudre $-2x = 4$.

On divise donc par $-2$ de chaque côté :

$dfrac{-2x}{-2} = dfrac{4}{-2}$.

Ainsi $x = -2$. 

 

3) Equation de la forme $ax + b = c$

On cherche à résoudre $3x – 2 = 7$.

On commence ici par les opérations addition-soustraction : on additionne donc 2 des deux côtés :

$3x – 2 + 2 = 7 + 2$, donc

$3x = 9$

puis on divise par 3 des deux côtés :

$dfrac{3x}{3} = dfrac{9}{3}$.

Donc $x = 3$.

 

Enfin, on veut résoudre $-2x + 1 = 3$.

On obtient alors

$-2x = 3 – 1$ donc

$-2x = 2$.

Enfin, on divise par -2 des deux côtés et on trouve alors

$x = -1$. 

Exemple d'équation difficile