Système de deux équations à deux inconnues
Système de deux équations à deux inconnues
Système de deux équations à deux inconnues
Définition
Un système est représenté par une grande accolade marquant l’ensemble des deux équations avec deux inconnues, généralement $x$ et $y$.
Ainsi, un exemple de système est
$\left \{ \begin{array}{rccc} x – y & = & – 7 & (1) \\ -2x + y & = & 4 & (2) \\ \end{array} \right.$
Pour différencier chacune des deux équations, on peut numéroter les équations.
Solutions d’un système
Résoudre un système c’est trouver, s’il existe, un couple de nombres $(x; y)$ vérifiant les deux équations.
La solution sera donc un couple $(x; y)$ de deux nombres.
Ici, la solution est $(3; 10)$.
En effet, en remplaçant $x$ par $3$ et $y$y par $10$, on obtient :
$x-y=3-10=-7$
La première équation est vérifiée.
$-2x+y=-2\times 3+10=-6+10=4$
La deuxième équation est vérifiée.
On notera l’ensemble des solutions :
$S=\{(3;10)\}$
Il existe deux méthodes pour résoudre un système : la méthode par substitution et la méthode par combinaison.
Système de deux équations à deux inconnues - Méthode par substitution
Système de deux équations à deux inconnues – Méthode par substitution
On cherche à résoudre le système suivant $\left \{ \begin{array}{rccc} x + 2y & = & 13 & (1) \\ 2x – 3y & = & 12 & (2) \\ \end{array} \right.$ par la méthode de substitution.
La première étape consiste à isoler dans une des deux équations une des deux inconnues.
Ici, on choisit d’isoler $x$ dans la première équation car il n’y a pas de coefficient multiplicateur devant, permettant de l’isoler plus rapidement.
On soustraie donc des deux côtés de l’égalité de la première équation $2y$ :
$\left \{ \begin{array}{lccc} x & = & 13 – 2y & (1) \\ 2x – 3y & = & 12 & (2) \\ \end{array} \right.$
Il suffit maintenant de remplacer la valeur de l’inconnue isolée dans l’autre équation.
$ 2 (13 – 2y) – 3y = 12$ : il s’agit ainsi d’une équation à une seule inconnue.
Après développement,
$26 – 4y – 3y = 12$
On regroupe ensuite les termes en $y$,
$26 – 7y = 12$
Puis on isole $y$ :
$26 -7y -26 = 12 – 26$
Ainsi $-7y = -14$.
Enfin en divisant par $-7$ des deux côtés de l’égalité on obtient
$y = \dfrac{-14}{-2}$, c’est à dire $ y = 2$.
Il s’agit maintenant de déterminer la valeur de $x$. On remplace donc $y$ par sa valeur dans l’équation où $x$ est isolé :
$x = 13 – 2 \times 2$ c’est à dire $ x = 9 $.
Ainsi, l’unique solution du systèmes est le couple $(9; 2)$.
Système de deux équations à deux inconnues - Méthode par combinaison
Système de deux équations à deux inconnues – Méthode par combinaison
La méthode par combinaison consiste à combiner les deux équations.
On souhaite résoudre le système suivant :
$\left \{ \begin{array}{cccc} 3x + y & = & 1 & (1) \\ 2x + 3y & = & -4 & (2) \\ \end{array} \right.$
La première étape consiste à faire apparaitre dans les deux équations le même coefficient multiplicatif devant $x$ ou $y$.
Il suffit de multiplier la première équation par 3 pour obtenir $3y$ dans les deux équations.
$\left \{ \begin{array}{cccl} 9x + 3y & = & 3 & (1) \times 3 \\ 2x + 3y & = & -4 & (2) \\ \end{array} \right.$
La deuxième étape consiste à soustraire membre à membre des deux côtés de l’égalité.
$ (9x + 3y) – (2x + 3y) = 3 – (-4) $
Ainsi, cela permet d’écrire une équation à une inconnue $x$ car les termes en $y$ se simplifient :
$9x – 2x + 3y – 3y = 7$.
$7x = 7$
Ainsi, après avoir divisé par 7 des deux côtés, $x =1$.
Puis on remplace dans une des deux équations de départ $x$ par sa valeur 1 pour trouver la valeur de $y$ :
$3 \times 1 + y = 1$
$3 + y = 1$
$3 + y – 3 = 1 – 3$
$y = -2$.
L’unique solution du sytème est donc $(1; -2)$.
On peut alors vérifier la solution :
$3 \times 1 + (-2) = 3 – 2 = 1$ et $2 \times 1 + 3 \times (-2) = 2 – 6 = -4$.