Factorisation de $a^n-b^n$ par $(a-b)$

Factorisation de $a^n-b^n$ par $(a-b)$

Propriété

Soit $(a,b)\in\mathbb{C^2}$ et $n\in\mathbb{N^*}$,

$a^n-b^n=(a-b)\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a^{n-k}\;b^{k-1}$

pour $n=2$ :

$(a-b)\displaystyle\sum_{k=1}^{2} a^{2-k}\;b^{k-1}=(a-b)(a+b)=a^2-b^2$

pour $n=3$ :

$(a-b)\displaystyle\sum_{k=1}^{3} a^{3-k}\;b^{k-1}=(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$

pour $n=4$ :

$(a-b)\displaystyle\sum_{k=1}^{4} a^{4-k}\;b^{k-1}=(a-b)(a^3+a^2b+ab^2+b^3)=a^4-b^4$

Démonstration 

$(a-b)\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a^{n-k}\;b^{k-1} = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} a^{n-k+1}\;b^{k-1} – \displaystyle\sum_{k=1}^{n} a^{n-k}\;b^{k}$

$(a-b)\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a^{n-k}\;b^{k-1}= \displaystyle\sum_{j=0}^{n} a^{n-j}\;b^{j} – \displaystyle\sum_{k=1}^{n} a^{n-k}\;b^{k-1}\; \textrm{(on a réindexé la première somme, avec j=k-1)}$

$(a-b)\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a^{n-k}\;b^{k-1}=a^{n-0}\;b^0 + \displaystyle\sum_{j=1}^{n-1} a^{n-j}\;b^{j} – \displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} a^{n-k}\;b^{k} – a^{n-n}\;b^n$

$(a-b)\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a^{n-k}\;b^{k-1}=a^n-b^n$ QED