Factoriser, égalités remarquables

Factorisation : exemple

Factorisation

 

Factoriser une expression, c’est l’écrire sous la forme d’un produit (une multiplication donc).

Afin de factoriser une expression, il de s’agit de trouver un facteur commun ou d’utiliser des égalités remarquables.

 

Considérons l’exemple suivant : 
$ A = 4x^2 – 9 + (1 – x)(4x – 6)$.

Ici, il n’est pas conseillé de développer pour factoriser ensuite et il n’est pas possible de trouver un facteur commun directement. 

Il faut plutôt chercher une égalité remarquable, ici il s’agit de $a^2 – b^2 = (a + b)(a – b)$ avec le terme $4x^2 – 9=(2x)^2-(3)^2$

 

Ainsi :

$A =(2x)^2 – 3^2 + (1 – x)(4x – 6) $

$A= (2x + 3)(2x – 3) + (1 – x)(4x – 6)$. 

Généralement, à la suite de cette étape apparait un facteur commun. Ce n’est cependant pas le cas ici.

Néanmoins, en regardant les termes, on peut remarquer que $4x – 6 = 2(2x – 3)$.

 

Ainsi :

$A = (2x + 3)(2x – 3) + 2(1 – x)(2x – 3)$. Le facteur commun est donc $(2x – 3)$.

On factorise ainsi par ce facteur :

$A = (2x – 3)[(2x + 3) + 2(1 – x)] $

$A= (2x – 3)[2x + 3 + 2 – 2x] $

$A= 5(2x – 3)$

Factoriser avec un facteur commun

Factoriser avec un facteur commun

 

Propriété

 

Pour tous nombres $a, b$ et $k$, on a :

$ktimes a + ktimes b = k(a + b) $

On passe d’une somme à un produit : c’est la factorisation. 

Pour factoriser une expression, il faut faire apparaître le facteur commun aux deux termes de la somme.

 

Exemples :

 

 

  •  Factoriser $6x + 12$

On remarque que $12 = 6 \times 2$, $6$ est donc le facteur commun. Ainsi,

$6x + 12 = 6times x + 6 \times 2 $

$6x + 12 = 6(x + 2)$.

En développant cette expression, on retrouve l’expression initiale.

 

  •  Factoriser $21 – 7x$.

On remarque que $21$ est un multiple de $7$, donc $7$ est le facteur commun.

$21 – 7x = 7 \times 3 – 7 \times x $

$21 – 7x = 7 ( 3 -x )$. 

 

  •  Factoriser $3 + 3x$.

Le facteur commun est $3$. Il faut cependant faire apparaitre dans chacun des termes un produit faisant intervenir $3$.

On se rappelle alors que $3 = 3 \times 1$.  Ainsi,

$3 + 3x = 3times 1 + 3 \times x

$3 + 3x= 3 (1 + x)$

 

  • Factoriser $(3x+4)(x+2)+(x+2)(5x-2)$

Le facteur commun est ici $(x+2)$. Ainsi : 

$(3x+4)(x+2)+(x+2)(5x-2)= (x+2)[(3x+4)+(5x-2)]$

$(3x+4)(x+2)+(x+2)(5x-2)=(x+2)(3x+4+5x-2)$

$(3x+4)(x+2)+(x+2)(5x-2)=(x+2)(8x+2)$

Factoriser avec les égalités remarquables