Développer, identitiés remarquables

Égalités remarquables

Égalités remarquables

 

Propriétés

 

Les égalités ou identités remarquables sont les suivantes :

pour tous réels $a$ et $b$, 

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

(où $2ab$ est le double produit)

$(a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2$

$(a + b)(a – b) = a^2 – b^2$

 

Exemples :

 

$(x+3)^2=x^2+2times x \times 3 + 3^2$

$(x+3)^2=x^2+6x+9$

 

$(2x-6)^2=(2x)^2-2times 2x \times 6 + 6^2$

$(2x-6)^2=4x^2-24x+36$

 

$(5-3x)(5+3x)=(5)^2-(3x)^2$

$(5-3x)(5+3x)=25-9x^2$

 

Vocabulaire

 

Rappel : un produit est le résultat d’une multiplication

Lorsqu’on transforme une expression sous la forme d’un produit en somme, il s’agit d’un développement.

Lorsqu’on transforme une expression sous la forme d’une somme en produit, il s’agit d’une factorisation

 

L’expression factorisée de $x^2 – 4$ est $(x – 2)(x + 2)$

La forme développée de $(x + 4)^2$ est $x^2 + 8x + 16$.

 

Égalité remarquable - Exemple n°2

Égalité remarquable - Exemple n°3

Égalité remarquable - Exemple n°1

Double distributivité

Double distributivité

 

La formule de la double distributivité est la suivante :

$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$

 

Exemples : 

a) Développer $(x + 2)(3x + 4)$. 

On applique la formule avec $a = x, b = 2, c = 3x$ et $d = 4$. 

Ainsi,

$(x + 2)(3x + 4) = x \times 3x + x \times 4 + 2 \times 3x + 2 \times 4 $

$(x + 2)(3x + 4) = 3x^2 + 4x + 6x + 8$

La dernière étape du calcul consiste à regarder si il est possible d’effectuer une réduction, en regroupant les termes semblables.

Finalement, 

$(x + 2)(3x + 4) = 3x^2 + 10x + 8$. 

 

b) Développer $(5x – 7)(6 – 2x)$. 

L’astuce consiste à réécrire, lorsque l’on débute, le produit sous la forme

$(5x – 7)(6 – 2x) = (5x + (- 7))(6 +  (- 2x))$.

Ainsi, on applique la formule avec $a = 5x, b = -7, c = 6$ et $d = -2x$. 

On trouve alors que :

$(5x – 7)(6 – 2x) =(5x + (- 7))(6 +  (- 2x))$

$(5x – 7)(6 – 2x) = 30x – 10x^2 + – 42 + 14x$

$(5x – 7)(6 – 2x) = -10x^2 + 44x – 42$

 

c) Développer $(1 + y)(2y – 3)$

$(1 + y)(2y – 3) = 2y – 3 + 2y^2 -3y $

$(1 + y)(2y – 3) = 2y^2 – y -3$.