Fonction inverse, fonction racine carrée

Fonction inverse

Fonction inverse

 

Définition

 

Pour tout $x \in mathbb{R}^*$, la fonction inverse est la fonction définie par $f(x) = dfrac{1}{x}$. 

On remarquera que l’ensemble de définition de la fonction inverse est $mathbb{R}^*$ ou encore $left]-infty;0right [cup left]0;+inftyright[$ car on \ne peut pas diviser par 0.

 

La représentation graphique de la fonction inverse est une hyperbole. 

Chaque point de la courbe est le symétrique d’un autre par la symétrie centrale de centre $O(0;0)$ : la fonction inverse est une fonction impaire.

 

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Variations

 

La fonction inverse est décroissante pour $x$ strictement négatif et décroissante pour $x$ strictement positif.

Son tableau de variation est le suivant :

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La double barre utilisée signifie que $0$ est une valeur interdite, qui \ne peut être prise. 

 

Résolution graphique d’inéquations

 

On souhaite par exemple résoudre l’inéquation $f(x) \geq -2$. 

On trace pour se faire la droite d’équation $y = -2$ et les solutions sont les antécédents des points de la courbe qui sont au dessus de cette droite. 

Graphiquement, les solutions sont donc $S = ]-infty; -dfrac{1}{2}] \cup ]0; +infty[$ : il s’agit de la réunion de deux intervalles. 

 

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Fonction racine carrée

Fonction racine carrée

 

Définition

 

Pour tout $x \in [0; +infty [$, la fonction racine carrée est la fonction $f(x) = sqrt{x}$.

La racine carrée d’un nombre négatif n’existe pas. 

 

La courbe représentative de la fonction racine carrée est la symétrique par rapport à la droite $y = x$ de la fonction carré pour $x$ positif. 

 

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Variations

 

La fonction racine carrée est strictement croissante pour $x$ positif.

Son tableau de variation est le suivant :

variations-racine-carree 

 

Exercice d’Application 

 

Soit $1 \leq x \leq 169$. Encadrons $sqrt{x}$.

 

On sait que la fonction $f$ est croissante pour $x$ positif,

Ainsi, si $1 \leq x \leq 169$ alors $f(1) \leq f(x) \leq f(169)$ (comme $f$ est croissante, le sens des inégalités est préservé)

Ou encore $sqrt{1} \leq \sqrt{x} \leq sqrt{169}$

C’est à dire $1 \leq \sqrt{x} \leq 13$. 

Voici une représentation graphique pour mieux comprendre : 

 

encadrement-racine-carree