Fonctions linéaires et affines, fonction carré

Fonction carré

La Fonction carré

 

Définition

 

La fonction carré est la fonction qui à tout réel $x$ associe $x^2$, c’est à dire $f(x) = x^2$ pour tout $x \in mathbb{R}$.

On peut construire sa représentation graphique point par point.

En effet, $0^2 = 0, 1^1 = 1, 2^2 = 4,…$.

Puis on relit ces différents points.

Sa représentation graphique est une parabole.

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Variations

 

La fonction carré est décroissante pour $x$ négatif et croissante pour $x$ positif.

Son tableau de variation est le suivant :

variations-fonction-carre

 

La fonction admet un minimum atteint en $x = 0$. Cette fonction admet un axe de symétrie (l’axe des ordonnées) : c’est une fonction paire.

 

Résolution graphique d’équations et d’inéquations

 

On veut résoudre graphiquement l’équation $f(x) = 16$, c’est à dire on souhaite déterminer les antécédents de 16 par la fonction $f$. 

On trace une droite horizontale passant par le point de coordonnées $(0; 16)$ et les solutions de l’équation sont alors les abscisses des points d’intersection entre la droite horizontale et la courbe $C_f$ de la fonction carré.

On trouve alors comme solution $S = {-4; 4}$. 

On souhaite désormais résoudre l’inéquation $f(x) \leq 9$.

Pour se faire, il faut repérer la portion de courbe pour laquelle les images sont inférieures à $9$ : cela correspond à la zone bleu foncé sur l’axe des abscisses

$S = [-3: 3]$. 

 

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Fonctions linéaires et affines

Fonctions linéaires et affines

 

Définition

 

Une fonction affine est une fonction de la forme : $f(x) = ax + b$ 

Le nombre $a$ est le coefficient directeur de la droite, c’est à dire celui qui donne la pente de la droite, $x$ est la variable.

Le nombre $b$ l’ordonnée à l’origine, c’est à dire la valeur de la fonction lorsque $x = 0$.

 

Une fonction linéaire est une fonction affine particulière où $b = 0$ :

$g(x) = ax$, il s’agit d’une droite passant par l’origine. 

 

fonctions-affines-lineaires

 

Variations de fonctions affines

 

Si le coefficient directeur est strictement positif, alors la fonction $f$ est croissante sur $mathbb{R}$.

Si le coefficient directeur est strictement négatif, alors la fonction $f$ est décroissante sur $mathbb{R}$.

Si le coefficient directeur est nul, $f$ est constante sur $mathbb{R}$ dont la représentation graphique est une droite parallèle à l’axe des abscisses.

 

Signe de $f(x)$

 

On regarde pour quelles valeurs de $x$ la fonction est négative et pour quelles valeurs elle est positive.

Dans les deux cas, si $a \neq 0$, la fonction $f$ s’annule en $x = dfrac{-b}{a}$. 

 

Si $a>0$, le tableau est le suivant :

signe-fonction_affine-croissante

 

Si $a<0$, le tableau est le suivant :

signe-fonction_affine-decroissante

 

Exemple

La fonction rouge est la fonction $f(x) = 0.5x + 2$. Son ordonnée à l’origine est 2.

Le coefficient directeur vaut $0.5 > 0$ donc $f$ est croissante.

La fonction $f$ s’annule pour $x = dfrac{-2}{0.5} = -4$. Elle est négative pour $x< -4$ et positive pour $x>-4$. 

 

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