L’incontournable du chapitre

Positions relatives de droites

Positions relatives de droites

 

Il existe 4 cas différents pour décrire la position relative de droites dans l’espace. (c’est à dire comment est l’une par rapport à l’autre)

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1) Les droites peuvent être parallèles, et forment un plan dans ce cas. On dit qu’elles sont coplanaires. 

Par exemple, les droites $(HD)$ et $(GC)$ sont parallèles.

 

2) Deux droites peuvent être confondues.

 

3) Deux droites peuvent être également sécantes et sont coplanaires.

 C’est le cas par exemple des droites $(AB)$ et $(BF)$

 

4) Enfin deux droites peuvent être non coplanaires

Par exemple, les droites $(BC)$ et $(DH)$ \ne sont pas dans le même plan, elles \ne sont donc pas coplanaires. 

Positions relatives de plans

Positions relatives de plans

 

On décrit ici les différentes positives relatives de plans. 

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1) Deux plans peuvent être confondus, c’est à dire que les deux faces sont l’une sur l’autre. 

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2) Deux plans peuvent être parallèles. 

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Sur le cube, les faces $ABFE$ et $DCGH$ sont parallèles. 

 

3) Enfin, deux plans peuvent être sécants et leur intersection est une droite

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Sur le cube, les faces $ABFE$ et $BFGC$ sont sécantes et se coupent selon la droite $(BF)$. 

Il s’agit du cas le plus fréquent et il faudra dans la plupart des exercices de trouver la droite d’intersection. 

 

Positions relatives de droites et plans

Positions relatives de droites et plans

 

On cherche à décrire la position relative d’une droite et d’un plan. 

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1) Une droite et un plan peuvent être sécants, dans ce cas, leur intersection est un point.

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C’est par exemple le cas de la face $ABFE$ du cube et la droite $(GA)$, le point d’intersection est le point $A$. 

 

2) Une droite peut également être incluse dans le plan

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Comme c’est le cas pour la droite $(HE)$ dans le plan $HEFG$ du cube. 

 

3) Enfin une droite peut être parallèle au plan.

Pour prouver cette position, on peut démontrer le parallélisme entre une droite incluse dans le plan et la droite que l’on étudie.

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Par exemple, la droite $(DC)$ du cube est parallèle à la face $ABFE$.

En effet, les droites $(DC)$ et $(AB)$ sont parallèles et la droite $(AB)$ est incluse dans la face $ABFE$. 

Plans parallèles

Plans parallèles

 

Théorème : 

Soient $(P)$ et $(Q)$ deux plans de l’espace,

          $d$ et $Delta$ deux droites sécantes du plan $(P)$,

          $d’$ et $Delta ‘$ deux droites sécantes du plan $(Q)$,

 

Si $left \{ \begin{array}{l} d //  d’ \ \Delta // \Delta ‘ \end{array} right. $, alors $(P)  //  (Q)$. 

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Théorème du toit

 Théorème du toit

 

La configuration des deux plans forme un toit, ce qui explique le nom de ce théorème.

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Théorème : 

 

Soient $P$ et $Q$ deux plans de l’espace sécants selon la droite $Delta$,

Soit $d$ une droite de $(P)$

      $d’$ une droite de $(Q)$

Si $d // d’$ alors $d //  Delta // d’$. 

 

Ce théorème permet de montrer que des droites sont parallèles :

Si deux droites sont parallèles dans deux plans sécants, alors ces droites sont parallèles à la droite d’intersection des deux plans. 

Solides et volumes

Solides de l’espace et volumes.

 

Le pavé droit 

 

Un pavé droit est composé de 6 faces dont le volume est égal à $L \times l \times h$ où $L$ correspond à la longueur, $l$ à la largeur et $h$ à la hauteur. 

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Le cube

 

Un cube est composé de 6 faces carrées, ses longueurs sont toutes égales à $c$. Le volume d’un cube est $c^3$. 

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Le prisme droit 

 

Il s’agit d’un prisme droit à base triangulaire car chacune des faces parallèles est un triangle que l’on peut superposer entre eux. Les faces latérales doivent être des rectangles.

Le volume est égal à $text{aire de la base} \times h$.

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Le cylindre 

 

Un cylindre est composé de deux disques constituant les bases. Sa face latérale une fois dépliée est un rectangle. Son volume est $pi \times R^2 \times h$ où $R$ est le rayon du disque et $h$ la hauteur du cylindre et l’aire latérale vaut $2pi R \times h$. 

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Le cône de révolution

 

Un cône de révolution dispose d’un disque comme base de rayon $R$ et d’une hauteur $h$. Son volume vaut $dfrac{pi \times R^2 \times h}{3}$.

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La pyramide 

 

C’est une pyramide dont la base est un quadrilatère mais il existe des pyramides dont la base est un polygone. 
Son volume est égal à $dfrac{text{aire de la base} \times h}{3}$.

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La sphère 

 

Son volume est $dfrac{4}{3} \pi R^3$ et l’aire latérale vaut $4 \pi R^2$.

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