L’incontournable du chapitre

Multiples et diviseurs

Multiples et diviseurs

 

Rappel : la division euclidienne

 

On considère deux nombres entiers $n$ et $d$. 

On peut trouver deux autres nombres entiers $q$ et $R$ et écrire

$n=dtimes q +R$ 

avec $R<d$

 

Exemple

Effectuons la division euclidienne de $37$ par $4$

On a = $37=9times 4 +1$

Le nombre $q=4$ est le quotient et le nombre $R=1$ est le reste.

 

Multiples et diviseurs d’un nombre.

 

Lorsque le reste d’une division euclidienne est égale à $0$ on peut alors écrire :

$n=dtimes q$

 

Dans ce cas, on dira que :

  • $n$ est un multiple de $d$
  • $n$ est dans la table de multiplication de $d$
  • $n$ est divisible par $d$

On dira aussi que : 

  • $d$ est un diviseur de $n$

 

Exemples : 

1 – Effectuons la division euclidienne de $48$ par $4$.

On a : $48 = 12times 4$

Dans ce cas, on dira que :

  • $48$ est un multiple de $4$
  • $48$ est dans la table de multiplication de $4$
  • $48$ est divisible par $4$

On dira aussi que : 

  • $4$ est un diviseur de $48$

 

2 – Effectuons la division euclidienne de $125$ par $25$.

On a : $125 = 5times 25$

Dans ce cas, on dira que :

  • $125$ est un multiple de $25$
  • $125$ est dans la table de multiplication de $25$
  • $125$ est divisible par $25$

On dira aussi que : 

  • $25$ est un diviseur de $125$

 

3 – Effectuons la division euclidienne de $51$ par $8$.

On a : $51 = 6times 8 +3$

Dans ce cas, puisque le reste n’est pas égal à zéro, on dira que :

  • $51$ n’est pas un multiple de $8$
  • $51$ n’est pas dans la table de multiplication de $8$
  • $51$ n’est pas divisible par $8$

On dira aussi que : 

  • $8$ n’est pas un diviseur de $51$

 

Critères de divisibilité

Critères de divisibilité

 

Vocabulaire

 

Un mot est composé de lettres, un nombre est composé de chiffres. 

Le chiffre des unités d’un nombre est le premier chiffre à gauche de la virgule. 

Le chiffre des unités d’un nombre entier est son dernier chiffre.

Le chiffre des dizaines est le deuxième nombre à gauche de la virgule. 

Le chiffre des dizaines d’un nombre entier est son avant dernier chiffre. 

Exemple : 

On regarde le nombre 121 095. 

Son chiffre des unités est 5, celui des dizaines est 9.

 

Somme des chiffres d’un nombre

 

La somme des chiffres d’un nombre revient à additionner les chiffres formant le nombre. 

 

Exemple :

La somme des chiffres du nombre 121 095 vaut $S = 1 + 2 + 1+ 0+  9 + 5 = 18$. 

 

Critères de divisibilité 

 

Un nombre est divisible par 2 si le chiffre des unités est pair, c’est à dire si il vaut 0; 2; 4 ; 6 ou 8.

Un nombre est divisible par 10 si le chiffre des unités vaut 0. 

Un nombre est divisible par 5 si le chiffre des unités vaut 0 ou 5. 

Un nombre est divisible par 4 si le nombre formé par le chiffre des dizaines et des unités est dans la table de 4. 

Un nombre est divisible par 3 si la somme des chiffres du nombre est dans la table de 3. 

Un nombre est divisible par 9 si la somme des chiffres du nombre est dans la table de 9.

 

Exemples :

1) On s’intéresse à nouveau au nombre 121 095.

Son chiffre des unités est 5.

Ce nombre n’est donc pas divisible par 2 (car 5 n’est pas pair).

Ce nombre n’est donc pas divisible par 10 (car le chiffre des unités \ne vaut pas 0).

Cependant, il est divisible par 5.

La nombre formé par le chiffre des dizaines et des unités vaut 95, qui n’est pas dans la table de 4, donc 121 095 n’est pas divisible par 4.

La somme des chiffres de ce nombre vaut 18, qui est dans la table de 3 ($6 \times 3 = 18$) et dans la table de 9 ($9 \times 2 = 18$). 

Ce nombre est donc divisible par 3 et 9. 

 

2) On s’intéresse maintenant au nombre 257 232. 

Son chiffre des unités est 2.

Ce nombre est donc divisible par 2 (car 2 est pair).

Ce nombre n’est pas divisible par 10 (car le chiffre des unités \ne vaut pas 0).

Ce nombre n’est pas divisible par 5 (car le chiffre des unités \ne vaut pas 0 ou 5).

La nombre formé par le chiffre des dizaines et des unités vaut 32, qui est dans la table de 4 ($4 \times 8 = 32$), donc 257 232 est divisible par 4.

La somme des chiffres de ce nombre vaut 21, qui est dans la table de 3 ($7 \times 3 = 21$) mais pas dans la table de $9$.

Ce nombre est donc divisible par 3 mais pas par 9. 

Division euclidienne

Division euclidienne

 

Définition

 

Un nombre entier est un nombre qui permet de compter un nombre d’entités par exemple (0; 1; 2, …).

On considère deux nombres entiers $n$ et $d (neq 0)$. 

La division euclidienne de $n$ par $d$ consiste à trouver deux nombres $q$ (le quotient) et $r$ (le reste) tels que $n = d \times q + r$ avec $r < d$.

Le nombre $n$ correspond au dividende, le nombre $d$ au diviseur.

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Il s’agit en fait d’effectuer un partage équitable.

Par exemple, $n$ peut représenter le nombre de billes à répartir parmi $d$ élèves.

On souhaite que chacun en ait le même nombre $q$ et il restera des billes en une quantité $r$ qui \ne seront pas distribuées. 

On impose également que le partage soit généreux, cela signifie que le reste est toujours plus petit que le diviseur ou encore $r < d$.

En effet, si il restait plus de billes que d’élèves, on pourrait encore donner des billes aux élèves sans qu’aucun d’eux \ne soit lésé.

 

Exemple :

On considère que $n = 17$ et $d= 5$. 

On regarde la table de $5$ pour trouver le plus grand nombre $q$.

Ici, $q = 3$ ($5 \times 3 = 15$) car si on avait choisit $q = 4$, on aurait alors eu $4 \times 5 = 20 > 17 = n$ ce qui n’est pas possible. 

Ainsi, $17 = 5 \times 3 + 2$. 

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Multiples et diviseurs : comment les trouver ?

Multiples et diviseurs : comment les trouver ?

 

1) Multiples 

 

On commence par chercher les multiples d’un nombre. Cela correspond à tous les nombres qui sont dans la table de ce nombre. 

Il existe une infinité de multiples d’un nombre. On peut lire les multiples d’un nombre en s’aidant de la table de Pythagore.

 

Exemples : 

Les multiples de $8$ sont : $8, 16, 24, 32, …, 88, 96, …$.

Les multiples de $24$ sont : $24, 48, 72, 96, …, 240, 2400, …$.

 

2) Diviseurs 

 

Afin de trouver les diviseurs d’un nombre $n$, il est plus aisé de se poser la question inverse, à savoir se demander quels sont les nombres qui sont multiples du nombre $n$.

Chaque nombre admet un nombre fini de diviseurs. 

 

Exemples :

On cherche les diviseurs de $8$.

On cherche donc dans la table de Pythagore les diviseurs de $8$.

On regarde dans la table de $1$ : on trouve que $8 = 1 \times 8$.

On regarde dans la table de $2$ : on trouve que $8 = 2 \times 4$.

On regarde dans la table de $3$ : $8$ n’est pas dans la table de $3$.

On a trouvé précédemment que $8 = 2 \times 4$, cela signifie donc que $8$ est dans la table de $4$, et on arrête le processus car on avait déjà trouvé cette information. 

Les diviseurs de $8$ sont donc $1; 2; 4$ et $8$.

 

On cherche les diviseurs de $24$.

On cherche donc à quelles tables appartient $24$.

On regarde dans la table de $1$ : on trouve que $24 = 1 \times 24$.

On regarde dans la table de $2$ : on trouve que $24 = 2 \times 12$.

On regarde dans la table de $3$ : on trouve que $24 = 3 \times 8$.

On regarde dans la table de $4$ : on trouve que $24 = 4 \times 6$.

On regarde dans la table de $5$ : $24$ n’est pas dans la table de $5$.

On a trouvé précédemment que $24 = 4 \times 6$, cela signifie donc que $24$ est dans la table de $6$, et on arrête le processus car on avait déjà trouvé cette information. 

Les diviseurs de $24$ sont donc $1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24$. 

On préfèrera écrire les diviseurs dans l’ordre croissant. 

Nombres premiers

Nombres premiers

 

Définition 

 

Un nombre est dit premier s’il est divisible seulement par $1$ et par lui même, c’est à dire si il admet deux diviseurs différents.

 

Remarque :

$0$ et $1$ \ne sont pas des nombres premiers. En effet, $1$ admet un seul diviseur : lui même.

 

Exemples : 

$2$ n’est divisible que par $1$ et $2$, c’est donc un nombre premier. C’est le seul nombre pair qui est premier. 

En effet, si on considère le nombre $4$, ses diviseurs sont $1, 2, 4$ : il n’est donc pas premier. 

Tous les nombres pairs différents de $2$ \ne sont donc pas premiers, car étant divisible par deux ils admettent au moins trois diviseurs. 

 

Propriété 

Il existe une infinité de nombres premiers. 

Le crible d’Eratosthène permet de trouver les nombres premiers. 

Il consiste à considérer tous les nombres, jusqu’à 120 ici. 

Le premier nombre est 2. C’est un nombre premier.

On raye ensuite tous les multiples de 2, qui sont donc divisibles par 2 et qui possèdent ainsi au moins 3 diviseurs différents.

On considère le nombre suivant qui n’est pas barré, c’est à dire $3$, puis on barre tous les multiples de 3, pour la même raison que précédemment. 

On continue de même en prenant le nombre suivant qui n’est pas barré et en barrant les multiples de ce nombre. 

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