Multiples et diviseurs

Multiples et diviseurs

 

Rappel : la division euclidienne

 

On considère deux nombres entiers $n$ et $d$. 

On peut trouver deux autres nombres entiers $q$ et $R$ et écrire

$n=dtimes q +R$ 

avec $R<d$

 

Exemple

Effectuons la division euclidienne de $37$ par $4$

On a = $37=9times 4 +1$

Le nombre $q=4$ est le quotient et le nombre $R=1$ est le reste.

 

Multiples et diviseurs d’un nombre.

 

Lorsque le reste d’une division euclidienne est égale à $0$ on peut alors écrire :

$n=dtimes q$

 

Dans ce cas, on dira que :

  • $n$ est un multiple de $d$
  • $n$ est dans la table de multiplication de $d$
  • $n$ est divisible par $d$

On dira aussi que : 

  • $d$ est un diviseur de $n$

 

Exemples : 

1 – Effectuons la division euclidienne de $48$ par $4$.

On a : $48 = 12times 4$

Dans ce cas, on dira que :

  • $48$ est un multiple de $4$
  • $48$ est dans la table de multiplication de $4$
  • $48$ est divisible par $4$

On dira aussi que : 

  • $4$ est un diviseur de $48$

 

2 – Effectuons la division euclidienne de $125$ par $25$.

On a : $125 = 5times 25$

Dans ce cas, on dira que :

  • $125$ est un multiple de $25$
  • $125$ est dans la table de multiplication de $25$
  • $125$ est divisible par $25$

On dira aussi que : 

  • $25$ est un diviseur de $125$

 

3 – Effectuons la division euclidienne de $51$ par $8$.

On a : $51 = 6times 8 +3$

Dans ce cas, puisque le reste n’est pas égal à zéro, on dira que :

  • $51$ n’est pas un multiple de $8$
  • $51$ n’est pas dans la table de multiplication de $8$
  • $51$ n’est pas divisible par $8$

On dira aussi que : 

  • $8$ n’est pas un diviseur de $51$

 

Critères de divisibilité

Critères de divisibilité

 

Vocabulaire

 

Un mot est composé de lettres, un nombre est composé de chiffres. 

Le chiffre des unités d’un nombre est le premier chiffre à gauche de la virgule. 

Le chiffre des unités d’un nombre entier est son dernier chiffre.

Le chiffre des dizaines est le deuxième nombre à gauche de la virgule. 

Le chiffre des dizaines d’un nombre entier est son avant dernier chiffre. 

Exemple : 

On regarde le nombre 121 095. 

Son chiffre des unités est 5, celui des dizaines est 9.

 

Somme des chiffres d’un nombre

 

La somme des chiffres d’un nombre revient à additionner les chiffres formant le nombre. 

 

Exemple :

La somme des chiffres du nombre 121 095 vaut $S = 1 + 2 + 1+ 0+  9 + 5 = 18$. 

 

Critères de divisibilité 

 

Un nombre est divisible par 2 si le chiffre des unités est pair, c’est à dire si il vaut 0; 2; 4 ; 6 ou 8.

Un nombre est divisible par 10 si le chiffre des unités vaut 0. 

Un nombre est divisible par 5 si le chiffre des unités vaut 0 ou 5. 

Un nombre est divisible par 4 si le nombre formé par le chiffre des dizaines et des unités est dans la table de 4. 

Un nombre est divisible par 3 si la somme des chiffres du nombre est dans la table de 3. 

Un nombre est divisible par 9 si la somme des chiffres du nombre est dans la table de 9.

 

Exemples :

1) On s’intéresse à nouveau au nombre 121 095.

Son chiffre des unités est 5.

Ce nombre n’est donc pas divisible par 2 (car 5 n’est pas pair).

Ce nombre n’est donc pas divisible par 10 (car le chiffre des unités \ne vaut pas 0).

Cependant, il est divisible par 5.

La nombre formé par le chiffre des dizaines et des unités vaut 95, qui n’est pas dans la table de 4, donc 121 095 n’est pas divisible par 4.

La somme des chiffres de ce nombre vaut 18, qui est dans la table de 3 ($6 \times 3 = 18$) et dans la table de 9 ($9 \times 2 = 18$). 

Ce nombre est donc divisible par 3 et 9. 

 

2) On s’intéresse maintenant au nombre 257 232. 

Son chiffre des unités est 2.

Ce nombre est donc divisible par 2 (car 2 est pair).

Ce nombre n’est pas divisible par 10 (car le chiffre des unités \ne vaut pas 0).

Ce nombre n’est pas divisible par 5 (car le chiffre des unités \ne vaut pas 0 ou 5).

La nombre formé par le chiffre des dizaines et des unités vaut 32, qui est dans la table de 4 ($4 \times 8 = 32$), donc 257 232 est divisible par 4.

La somme des chiffres de ce nombre vaut 21, qui est dans la table de 3 ($7 \times 3 = 21$) mais pas dans la table de $9$.

Ce nombre est donc divisible par 3 mais pas par 9. 

Multiples et diviseurs : comment les trouver ?

Multiples et diviseurs : comment les trouver ?

 

1) Multiples 

 

On commence par chercher les multiples d’un nombre. Cela correspond à tous les nombres qui sont dans la table de ce nombre. 

Il existe une infinité de multiples d’un nombre. On peut lire les multiples d’un nombre en s’aidant de la table de Pythagore.

 

Exemples : 

Les multiples de $8$ sont : $8, 16, 24, 32, …, 88, 96, …$.

Les multiples de $24$ sont : $24, 48, 72, 96, …, 240, 2400, …$.

 

2) Diviseurs 

 

Afin de trouver les diviseurs d’un nombre $n$, il est plus aisé de se poser la question inverse, à savoir se demander quels sont les nombres qui sont multiples du nombre $n$.

Chaque nombre admet un nombre fini de diviseurs. 

 

Exemples :

On cherche les diviseurs de $8$.

On cherche donc dans la table de Pythagore les diviseurs de $8$.

On regarde dans la table de $1$ : on trouve que $8 = 1 \times 8$.

On regarde dans la table de $2$ : on trouve que $8 = 2 \times 4$.

On regarde dans la table de $3$ : $8$ n’est pas dans la table de $3$.

On a trouvé précédemment que $8 = 2 \times 4$, cela signifie donc que $8$ est dans la table de $4$, et on arrête le processus car on avait déjà trouvé cette information. 

Les diviseurs de $8$ sont donc $1; 2; 4$ et $8$.

 

On cherche les diviseurs de $24$.

On cherche donc à quelles tables appartient $24$.

On regarde dans la table de $1$ : on trouve que $24 = 1 \times 24$.

On regarde dans la table de $2$ : on trouve que $24 = 2 \times 12$.

On regarde dans la table de $3$ : on trouve que $24 = 3 \times 8$.

On regarde dans la table de $4$ : on trouve que $24 = 4 \times 6$.

On regarde dans la table de $5$ : $24$ n’est pas dans la table de $5$.

On a trouvé précédemment que $24 = 4 \times 6$, cela signifie donc que $24$ est dans la table de $6$, et on arrête le processus car on avait déjà trouvé cette information. 

Les diviseurs de $24$ sont donc $1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24$. 

On préfèrera écrire les diviseurs dans l’ordre croissant. 

Table de Pythagore

Table de Pythagore

 

La table de Pythagore est un excellent outil pour apprendre les tables de multiplication. Il s’agit d’un tableau à double entrées constituée de 10 lignes et de 10 colonnes. 

On inscrit le résultat de la multiplication entre un nombre d’une colonne et un nombre d’une ligne dans la case correspondant à l’intersection des deux. 

La multiplication est commutative, c’est à dire que $6 \times 4 = 4 \times 6 = 24$, on peut donc échanger l’ordre des facteurs sans changer le résultat. 
Les cases en bas de la diagonale du tableau \ne sont donc pas à remplir car le résultat est déjà inscrit dans la partie supérieure du tableau. 

Les tables de $1$, de $10$, de $2$ sont simples. 

Un moyen simple pour connaitre la tableau de 9 consiste à utiliser ses doigts. Si on souhaite connaitre combien fait $9 \times 3$, on baisse notre troisième doigt. Le nombre de doigts à droite du doigt baissé correspond au chiffre des dizaines alors que le nombre à gauche du doigt baissé au chiffre des unités. On obtient alors $9 \times 3 = 27$. 

Pour apprendre la table de $3, 4, 5$, il faut apprendre à compter rapidement de $3$ en $3$, de $4$ en $4$ ou de $5$ en $5$. 

La diagonale correspond aux carrés parfaits, c’est à dire $1 \times 1 = 1$, $2times 2 = 4$… 

Après avoir supprimé toutes les cases dont le résultat pouvait être connu facilement, il \ne reste plus que 3 cases : $6 \times 7 = 42, 6 \times 8 = 48, 7 \times 8 = 56$. 

$times$  1   2   3  4 5 6 7 8 9 10
1 1                  
2   4                
3     9              
4       16            
5         25          
6           36 42 48    
7             49 56    
8               64    
9                 81  
10                   100