Nombres décimaux, rationnels, irrationnels

Ensembles D et Q - Irrationnel

Ensemble $mathbb{D}$ et $mathbb{Q}$ – Irrationnel

 

On s’intéresse à des ensembles permettant de classifier les nombres.

 

Ensemble  $mathbb{D}$

 

Cela correspond à l’ensemble des décimaux. 

Un nombre décimal est un nombre dont la partie décimale se termine, cela correspond donc à un nombre pouvant s’écrire sous la forme $dfrac{a}{10^p}$ avec $a$ un entier et $p$ un entier. 

Exemples : 

$0,2 = dfrac{2}{10^1}$, ainsi $a = 2$ et $p = 1$.

$-4,21 = dfrac{-421}{100} = dfrac{-421}{10^2}$. En effet, diviser par $100$ revient à décaler la virgule de deux rangs vers la gauche.

Ainsi $a = -421$ et $p =2$. 

 

Ensemble $mathbb{Q}$

 

Cet ensemble correspond à l’ensemble des rationnels, c’est à dire de l’ensemble des fractions, s’écrivant sous la forme $dfrac{a}{b}$ avec $a$ et $b$ des entiers, et $b$ non nul. 

Certaines fractions sont des nombres rationnels mais \ne sont pas des nombres décimaux, c’est à dire qu’ils \ne peuvent pas s’écrire sous la forme  $dfrac{a}{10^p}$ . 

Exemples :

$dfrac{2}{7} \in mathbb{Q}$ mais $dfrac{2}{7} \notin mathbb{D}$ car la division de $2$ par $7$ \ne se termine pas. 

$dfrac{-3}{4} \in mathbb{Q}$ et $-dfrac{3}{4} = – 0,75 = – \dfrac{75}{100} = – dfrac{75}{10^2} \in mathbb{D}$ . 

Toutes les fractions sont donc rationnelles mais pas forcément décimales, mais toutes les fractions décimales sont rationnelles.

On note donc $mathbb{D} \subset mathbb{Q}$. 

 

On peut aussi encadrer certaines nombres rationnels par des nombres décimaux.

Exemple :

On sait que $dfrac{1}{3} \approx 0,3333…$

Ainsi, $0,33 \leq \dfrac{1}{3} \leq 0,34$ donne un encadrement à $10^{-2}$ près par des nombres décimaux de la fraction $dfrac{1}{3}$. 

 

Nombres irrationnels

 

Soit $ABC$ un triangle isocèle rectangle en $A$,

D’après le théorème de Pythagore, on trouve que $BC^2 = AC^2 + AB^2 = 1 +1 = 2$ c’est à dire $BC = sqrt{2}$. 

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Or ce nombre \ne peut s’écrire sous aucune fraction et admet une partie décimale qui \ne se termine pas : c’est un nombre irrationnel. 

Ainsi, on sait que le segment $[BC]$ mesure $sqrt{2}$ mais on \ne connait pas la valeur exacte de ce dernier. 

$pi$ est aussi un nombre irrationnel. 

 

En conclusion

On peut représenter sous la forme d’un schéma la totalité des ensembles de nombres. 

Ainsi, on connait l’ensemble des entiers naturels $mathbb{N}$, l’ensemble des entiers relatifs l’ensemble des décimaux  $mathbb{D}$, l’ensemble des rationnels $mathbb{Q}$ et enfin l’ensemble des réels $mathbb{R}$ contenant l’ensemble des nombres précédents et les nombres irrationnels. 

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Ensembles D et Q - Irrationnel - Démonstration