Ensemble des réels R, intervalles

Intersections et réunions d'intervalles - exemples

Intersections et réunions d’intervalles – exemples

 

Définitions

1) L’intersection de deux intervalles $I$ et $J$ contient tous les éléments qui appartiennent à la fois à $I$ et à la fois à $J$.

Elle est notée $I \cap J$ et se lit $I$ inter $J$. 

 

2) La réunion de deux intervalles $I$ et $J$ contient tous les éléments qui appartiennent à $I$ ou bien à $J$ ou bien à la fois à $I$ et à la fois à $J$.

Elle est notée $I \cup J$ et se lit $I$ union $J$. . 

 

Méthode :

Considérons les deux intervalles suivants $I = [-5, 4]$ et $J = ]- infty, 2]$ que l’on peut représenter sur un graphique.

intersection__reunion_intervalle 

 La représentation graphique permet de visualiser les notions d’intersection et de réunion. 

 

Ainsi l’intersection correspond aux abscisses où les deux zones hachurées sont représentées : $I \cap J = [-5, 2]$. 

Enfin, la réunion correspond aux abscisses où au moins une zone hachurée est représentée : $I \cup J = ]- infty, 4]$. 

Ensemble R - Intervalles

Ensemble des nombres réels $mathbb{R}$ – Intervalles 

 

Définition

 

L’ensemble des nombres utilisés au quotidien (les nombres négatifs, positifs, décimaux, …)  est appelé l’ensemble des réels, et est noté $mathbb{R}$. 

On peut représenter l’ensemble de ces nombres réels par une droite gradué, munie d’une origine $O$, d’une unité et orientée vers les nombres positifs.

droite_reelle

On a placé sur la droite le point $A$ qui correspond au nombre $4$. On dit que $A$ a pour abscisse $4$.

Ainsi, à chaque nombre réel correspond un point sur la droite et réciproquement. 

On peut indiquer sur la droite le symbole $+ infty$, qui est le symbole de l’infini pour signifier que la droite \ne s’arrête pas. 

 

Intervalles dans $mathbb{R}$

 

On s’intéresse désormais à une partie de la droite, comprise entre $I$ et $A$.

L’ensemble de ces réels compris entre les abscisses des points $I$ et $A$ est appelé un intervalle. 

La notation de l’intervalle est la même que pour un segment.

Par exemple, l’intervalle entre les abscisses des points $I$ et $A$ se note $[1; 4]$. 

Si l’abscisse du point $I$ n’appartient par à l’intervalle, on utilisera un crochet ouvert pour le signifier.

On notera alors $]1; 4]$. 

 

Il existe différents types d’intervalles.

Intervalle  Inégalité  Droite
$[a; b]$ $a \leq x \leq b$ intervalle_a-b_ferme
$]a; b]$ $a  < x \leq b$ intervalle_a-ab_ouvert
$[a; + \infty [$ $a \leq x$ intervalle_+infini
$]- infty; a [$ $x < a$ intervalle_-infini

 

Pour simplifier l’écriture de certains intervalles, on utilise des notations particulières. 

Ainsi, $mathbb{R}^+$ correspond à l’ensemble des nombres réels positifs, que l’on peut aussi noter $[0; +infty [$. 

$mathbb{R}^-$ correspond à l’ensemble des nombres réels négatifs, que l’on peut aussi noter $]- infty; 0]$. 

Enfin, $mathbb{R}^*$ correspond à l’ensemble des nombres réels privés de 0, que l’on note aussi $mathbb{R} \backslash 0$. 

 

Intersection de deux intervalles $I$ et $J$

 

L’intersection des intervalles $I$ et $J$ est composé de tous les éléments communs à $I$ et à $J$ en même temps. 

On note l’intersection par $I \cap J$ et cela se lit $I$ inter $J$. 

 

Exemples  :

1) Déterminons $[-1; 2[ cap [0; 3]$. 

Pour cela, on peut sur la droite graduée hachurer le premier intervalle  puis le second intervalle. L’intersection correspond à l’intervalle hachuré deux fois.

intersections_intervalles

On trouve alors $[-1; 2[ cap [0; 3] = [0; 2[$

 

2) Déterminons  $[1;2] \cap [3; + \infty [$.

On remarque que $2 < 3$, donc aucun élément n’est commun aux deux intervalles. 

 

On dira que l’intersection est égale à l’ensemble vide et se note $ varnothing$. 

Ainsi : $[1;2] \cap [3; + \infty [=varnothing$

 intersaction_vide_intervalle

 

Réunion de deux intervalles $I$ et $J$

 

La réunion des intervalles $I$ et $J$ est composée de tous les éléments appartenant à $I$ ou à $J$.

La réunion peut aussi contenir des éléments appartenant à la fois à $I$ et à $J$.

La réunion se note $I \cup J$ et se lit $I$ union $J$. 

 

Exemples

1) Déterminons $[-1; 2[ cup [0; 3]$. 

Pour cela, on peut sur la droite graduée hachurer les deux intervalles. La réunion correspond à l’intervalle hachuré au moins une fois. 

intersections_intervalles

On trouve alors $[-1; 2[ cup [0; 3] = [-1; 3]$

 

2) Déterminons $[1;2] \cup [3; + \infty [$.

On remarque qu’il n’y a pas de simplification possible de l’écriture. 

On écrit donc la réunion sous la forme $[1;2] \cup [3; + \infty [$.