Cours Modélisation : croissance et décroissance exponentielle

Exercice – Modélisation : croissance et décroissance exponentielle

L'énoncé

La population d’un village nommé $X$ présente une évolution qui suit la loi suivante : $P(t) = e^{0,004t-2}$.


Question 1

Compléter le tableau de l’évolution de la population du village grâce au calcul (arrondir à l’unité) :

$t$ (années)

1900

1920

1945

1975

1994

2000

2007

2015

2019

$P(t)$

(nombre d’habitants)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

$t$ (années)

1900

1920

1945

1975

1994

2000

2007

2015

2019

$P(t)$

(nombre d’habitants)

 

270

 

293

 

324

 

365

 

394

 

403

 

415

 

428

 

435

Il suffit de remplacer par la date dans la fonction et de calculer pour chaque année, le nombre d'habitants associé. 

Question 2

Tracer le graphique de l’évolution de cette population.

Question 3

Déterminer graphiquement le nombre d’habitants qu’il y avait dans le village en 1980 et en 2012.  

En 1980, il y avait environ  373 habitants au village.

En 2012, il y avait environ 423 habitants au village.

Question 4

Combien y aura-t-il d’habitants en 2100 ? En 2500 ? Justifier par le calcul.

$P(2100) = e^{0,004\times 2100 -2}$

$P(2100) \approx  602$ habitants.

 

$P(2500) = e^{0,004\times 2500 -2}$

$P(2500) \approx   2981$ habitants.

Il faut remplacer $t$ par l'année et calculer le nombre d'habitants, comme à la question 1. 

Question 5

On passe du nom de « village » au nom de « ville » lorsque la population dépasse 2000 habitants.

En quelle année le village deviendra-t-il une ville ? Justifier.

On veut connaître l’année où le village atteint 2000 habitants donc :

$P(t) = e^{0,004}\times t-2=2000$

 

On saisit la fonction dans la calculatrice et on édite un tableau de valeurs. On trouve la valeur approchée suivante : 

$ t = 2400$.

En 2400, la population du village atteindra 2000 habitants et deviendra une ville.

Si on connait l'usage du logarithme népérien lié aux exponentielles, il faut dans ce cas l'utiliser ici. Sinon, utiliser la calculatrice.