Nombre $e$, notation $e^x$, $e^{(x+y)}=e^xtimes e^y$

$exp (x+y) = exp(x)times exp(y)$. Nombre $e$, notation $e^x$

$exp(x + y) = exp(x) exp(y)$.  Nombre $e$, notation $e^x$

 

Propriété:

 

Soient $a$ et $b$ deux réels,

alors $exp(a + b) = exp(a) exp(b)$

 

Démonstration :

Soit $b$ un réel quelconque,

On définit la fonction $g$ pour tout réel $x$ par $g(x) = dfrac{exp(x+b)}{exp(b)} $.

En outre, par le calcul, on trouve que $g(0) = dfrac{exp(0+b)}{exp(b)} = dfrac{exp(b)}{exp(b)} = 1$. 

De plus, $g'(x) = g(x)$.

Or par définition, la fonction exponentielle est l’unique fonction vérifiant $f'(x) = f(x)$ et $f(0) = 1$.

Ainsi, $g(x) = dfrac{exp(x+b)}{exp(b)} = exp(x)$. 

En particulier, pour $x = a$, on trouve $dfrac{exp(a+b)}{exp(b)} = exp(a)$ c’est à dire $exp(a+b) =exp(a) exp(b)$. 

 

Autres propriétés 

 

A partir de la formule précédente, on peut démontrer les formules suivantes. 

Soit $x \in mathbb{R}$,

$exp(x) \times exp(-x) = exp(x – x)  = exp(0) = 1$

$exp(nx) = (exp(x))^n$ avec $n$ un entier naturel

$exp(-x) = dfrac{1}{exp(x)}$

$exp(n) = (exp(1))^n$ pour $n$ un entier naturel. 

 

Pour simplifier l’écriture, on notera $exp(1) = e$, c’est un nombre irrationnel qui vaut environ $e \approx 2,718$. 

Ainsi, $exp(n) = e^n$.

On admettra que cette propriété est vraie pour tout réel $x$ :

$exp(x) = e^x$. 

 

La fonction exponentielle est donc devenue une fonction puissance de nombre $e$, dont on connait déjà les propriétés. 

$e^0 = 1$, $e^1 = e$

$e^{a + b} = e^{a} \times e^{b}$ pour tous réels $a$ et $b$.