Cours Stage - Nombre $e$, notation $e^x$ ,$ e^{(x+y)}=e^x\times e^y$

$exp (x+y) = exp(x)\times exp(y)$. Nombre $e$, notation $e^x$

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Fiche de cours

$\exp(x + y) = \exp(x) \exp(y)$.  Nombre $e$, notation $e^x$

 

Propriété:

 

Soient $a$ et $b$ deux réels,

alors $\exp(a + b) = \exp(a) \exp(b)$

 

Démonstration :

Soit $b$ un réel quelconque,

On définit la fonction $g$ pour tout réel $x$ par $g(x) = \dfrac{\exp(x+b)}{\exp(b)} $.

En outre, par le calcul, on trouve que $g(0) = \dfrac{\exp(0+b)}{\exp(b)} = \dfrac{\exp(b)}{\exp(b)} = 1$. 

De plus, $g'(x) = g(x)$.

Or par définition, la fonction exponentielle est l'unique fonction vérifiant $f'(x) = f(x)$ et $f(0) = 1$.

Ainsi, $g(x) = \dfrac{\exp(x+b)}{\exp(b)} = \exp(x)$. 

En particulier, pour $x = a$, on trouve $\dfrac{\exp(a+b)}{\exp(b)} = \exp(a)$ c'est à dire $\exp(a+b) =\exp(a) \exp(b)$. 

 

Autres propriétés 

 

A partir de la formule précédente, on peut démontrer les formules suivantes. 

Soit $x \in \mathbb{R}$,

$\exp(x) \times \exp(-x) = \exp(x - x)  = \exp(0) = 1$

$\exp(nx) = (\exp(x))^n$ avec $n$ un entier naturel

$\exp(-x) = \dfrac{1}{\exp(x)}$

$\exp(n) = (\exp(1))^n$ pour $n$ un entier naturel. 

 

Pour simplifier l'écriture, on notera $\exp(1) = e$,

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