Cours Stage - Propriétés algébriques de la fonction exponentielle

Exercice - Propriétés algébriques de la fonction exponentielle

L'énoncé

Pour tout $x$ appartenant à $\mathbb{R}$, on pose :

$f(x) = \dfrac{e^x-1}{e^x+1}$

$g(x) = \dfrac{e^{-x}-1}{e^{-x}+1}$

$h(x) = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2}$

$i(x)= \dfrac{e^x-e^{-x}}{2}$


Question 1

Démontrer que $f(x)+g(x)=0$.

$f(x)+g(x)=\dfrac{e^x-1}{e^x+1}+ \dfrac{e^{-x}-1}{e^{-x}+1}$

$f(x)+g(x)=\dfrac{(e^x-1)\times (e^{-x}+1)}{(e^x+1)\times (e^{-x}+1)}+ \dfrac{(e^{-x}-1)\times (e^x +1)} {(e^x+1)\times (e^{-x}+1)}$

$f(x)+g(x)=\dfrac{1+e^x-e^{-x}-1}{(e^x+1)\times (e^{-x}+1)}+ \dfrac{1+e^{-x}-e^x-1}{(e^x+1)\times (e^{-x}+1)}$

$f(x)+g(x)=\dfrac{e^x-e^{-x}+e^{-x}-e^x}{(e^x+1)\times (e^{-x}+1)}$

$f(x)+g(x)=0$.

Question 2

Démontrer que $h(x)-i(x)=\dfrac{1}{e^x}$.

$h(x) – i(x) = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2} - \dfrac{e^x-e^{-x}}{2}$

$h(x) – i(x)= \dfrac{e^x+e^{-x}-e^x+e^{-x}}{2}$

$h(x) – i(x)=\dfrac{2e^{-x}}{2}$

$h(x) – i(x)=e^{-x}$

$h(x) – i(x)=\dfrac{1}{e^x}$

Question 3

Calculer $2h(x)\times i(x)$

$2h(x)\times i(x) = \dfrac{2(e^x+e^{-x})}{2} \times \dfrac{e^x-e^{-x}}{2}$.

$2h(x)\times i(x) = \dfrac{(e^x+e^{-x})(e^x-e^{-x})}{2}$

$2h(x)\times i(x) = \dfrac{e^{2x}-e^0+e^0-e^{-2x}}{2}$

$2h(x)\times i(x) = \dfrac{e^{2x}-e^{-2x}}{2}$

Question 4

Comment peut-on exprimer $2h(x)\times i(x)$ en utilisant uniquement la fonction $i$ ?

Le résultat précédent correspond en fait à $i(2x)$.

en effet, $i(x)= \dfrac{e^x-e^{-x}}{2}$.

Ainsi, $i(2x)= \dfrac{e^{2x}-e^{-2x}}{2}$ et finalement :

$i(2x)=2h(x)\times i(x)$

Question 5

Est-il vrai que $i(3x)=3h(x)\times i(x)$ ?

Par calcul, on trouve, en simplifiant : $3h(x)\times i(x)=\dfrac{3}{4}\times (e^{2x}-e^{-2x})$.

Ce n'est pas égal à $i(3x)$