Cours L'incontournable du chapitre
Exercice d'application

Exercice : Equations et valeurs absolues

 

Résoudre dans $\mathbb{R}$

1) $\vert 4x + 3 \vert = -2x + 5$

2) $\vert -x + 2 \vert > -3x + 7$

1) On écrit tout d'abord $\vert 4x + 3 \vert$ sans valeur absolue : 

$\vert 4x + 3 \vert = \quad 4x + 3 \quad$ si $\quad x \ge - \dfrac{3}{4}$

$\qquad \qquad -4x -3 \quad$ si $\quad x < - \dfrac{3}{4}$

 

Ensuite on étudie les deux cas : 

 

Cas 1 : $x \in \left[- \dfrac{3}{4} ; + \infty \right[$

Comme $x \in\left[- \dfrac{3}{4} ; + \infty\right[$, alors $\vert 4x + 3 \vert = 4x + 3$

$\vert 4x + 3 \vert = -2 x + 5$

$\Leftrightarrow 4x + 3 = -2x + 5$

$\Leftrightarrow 6x = 2$

$\Leftrightarrow x = \dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{3}$ est bien dans l'intervalle $\left[- \dfrac{3}{4} ; + \infty\right[$, c'est donc une solution de l'équation. 

 

Cas 2 : $x \in\left] - \infty ; - \dfrac{3}{4}\right[$

Comme $x \in\left] - \infty ; - \dfrac{3}{4}\right[$, alors $\vert 4x + 3 \vert = -4x -3$

$\vert 4x + 3 \vert = - 2x + 5$

$\Leftrightarrow -4x - 3 = -2x + 5$

$\Leftrightarrow -2x = 8$

$\Leftrightarrow x = -4$

$-4$ est bien dans l'intervalle $\left] - \infty ; - \dfrac{3}{4}\right[$, c'est donc une solution de l'équation.

$S=\left[-4 ; \dfrac{1}{3}\right]$

 

 

 

2) On écrit d'abord sans valeur absolue :

$\vert -x + 2 \vert = \quad -x +2 \quad$ si $\quad x \le 2$

$\qquad \qquad x-2 \quad $ si $\quad x>2$

 

Cas 1 : $x \in ] - \infty ; 2 ]$

Comme $x \in ] - \infty ; 2]$, alors $\vert -x+2 \vert = -x+2$

$\vert -x+2 \vert > -3x + 7$

$\Leftrightarrow -x + 2 > - 3x + 7$

$\Leftrightarrow 2x > 5$

$\Leftrightarrow x > \dfrac{5}{2}$

Seuls vont être solutions les réels $x$ qui vérifient $x \in ] - \infty ; 2 ]$ et $x > \dfrac{5}{2}$

Donc aucun réel ne vérifie ces contraintes.

 

Cas 2 : $x \in ] 2 ; + \infty[$

Comme $x \in ] 2 ; + \infty [$, alors $\vert -x +2 \vert = x -2$

$\vert -x + 2 \vert > - 3x + 7$

$\Leftrightarrow x-2 > - 3x + 7$

$\Leftrightarrow 4x > 9$

$\Leftrightarrow x > \dfrac{9}{4}$

Seuls vont être solutions les réels $x$ qui vérifient $x \in ] 2 ;+ \infty [$ et $x > \dfrac{9}{4}$

L'intervalle $\left] \dfrac{9}{4} ; + \infty\right[$ vérifie ces contraintes.

$S =\left]\dfrac{9}{4} ; + \infty\right[$